Bài 3: Năng lượng trong dao động điều hoà

Nếu trong quá trình dao động, ta bỏ qua mọi ma sát thì vật nặng sẽ chạm vào tấm gỗ như lúc bắt đầu thả, khi đó coi như chỉ có sự chuyển hoá qua lại giữa động năng và thế năng.

Tuy nhiên về mặt thực tế thì không có trường hợp nào là hoàn toàn lí tưởng, nên sau mỗi chu kì dao động, năng lượng sẽ được chuyển hoá một phần thành năng lượng hao phí (nhiệt năng, năng lượng âm thanh) nên vật nặng không chạm vào tấm gỗ mà càng ngày càng có xu hướng trở về trạng thái cân bằng.

Công thức (3.2): \(W_t=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)\)
Đồ thị thế năng - thời gian cũng có dạng hình sin.
Từ đồ thị ta thấy:
Tại thời điểm ban đầu, thế năng cực đại
Tại thời điểm \(\frac{T}{4}\), thế năng bằng 0
Tại thời điểm \(\frac{T}{2}\), thế năng cực đại
Tại thời điểm \(\frac{3 T}{4}\), thế năng bằng 0
Tại thời điểm T, thế năng cực đại.

Thế năng biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số góc bằng 2 lần tần số góc của li độ nên khi đó chu kì, tần số biên thiên của thế năng \(T'=\frac{T}{2}\); \(f'=2f\)

Tần số dao động \(f=15 \mathrm{~Hz} \Rightarrow \omega=2 \pi f=30 \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)
Thế năng cực đại: \(W_{t \max }=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 10^5 \cdot(30 \pi)^2 \cdot 0,15^2 \approx 3 \cdot 10^7 \mathrm{~J}\)

Công thức (3.5): \(W_d=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)\)
Đồ thị động năng - thời gian cũng có dạng hình sin.
Từ đồ thị ta thấy:
+ Tại thời điểm ban đầu, động năng bằng 0
+ Tại thời điểm \(\frac{T}{4}\), động năng cực đại
+ Tại thời điểm \(\frac{T}{2}\), động năng bằng 0
+ Tại thời điểm \(\frac{3 T}{4}\), động năng cực đại
+ Tại thời điểm T, động năng bằng 0 .

Trong quá trình vật dao động, khi động năng cực đại thì thế năng cực tiểu, khoảng thời gian ngắn nhất để chúng có cùng trạng thái là \(\Delta t=\frac{T}{4}\) nên độ lệch pha là \(\Delta \varphi=\frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{4}=\frac{\pi}{2}(\mathrm{rad})\). Tức là động năng và thế năng vuông pha với nhau.

Tốc độ cực đại của vật dao động: \(v_{\max }=0,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).
Động năng cực đại: \(W_{d \max }=\frac{1}{2} m v_{\max }^2=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0,4^2=0,16 J\)

- Khi vật ở vị trí biên âm, thế năng cực đại và đang giảm, động năng bằng 0 và đang tăng.

- Khi vật ở VTCB, thế năng bằng 0 và đang tăng, động năng cực đại và đang giảm.

- Khi vật ở vị trí biên dương, thế năng cực đại, động năng bằng 0.

- Trong quá trình vật di chuyển từ biên âm đến dương thì có 2 thời điểm động năng bằng thế năng (vị trí giao nhau của đồ thị).

Độ lớn của động năng và thế năng thay đổi liên tục theo thời gian, khi động năng giảm thì thế năng tăng và ngược lại nhưng cơ năng luôn được bảo toàn.

Công thức (3.2): \(W_t=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)\)
Công thức (3.5): \(W_d=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)\)
Cơ năng:
\( W=W_d+W_t=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)+\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \)

Với \(\sin ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)+\cos ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)=1\)

Vật bắt đầu dao động từ vị trí cân bằng, tại vị trí cân bằng động năng cực đại, thế năng bằng 0 và tại vị trí biên thì động năng bằng 0 và thế năng cực đại.

a) Thế năng tăng dần trong khi động năng giảm dần tương ứng với các khoảng thời gian từ 0 đến \(\frac{T}{4}\) và \(\frac{T}{2}\) đến \(\frac{3T}{4}\).

b) Thế năng giảm dần trong khi động năng tăng dần tương ứng với các khoảng thời gian từ \(\frac{T}{4}\) đến \(\frac{T}{2}\) và \(\frac{3T}{4}\) đến T.

a) Từ phương trình dao động điều hoà xác định được các đại lượng:
+ Biên độ \(A=5 \mathrm{~cm}\)
+ Tốc độ góc: \(\omega=20(\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)
\(\Rightarrow\) Cơ năng của vật trong quá trình dao động: \(W=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2=\frac{1}{2} . 0,2 . 20^2 . 0,05^2=0,1 \mathrm{~J}\)
b) Biểu thức thế năng: \(W_t=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \cos ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)=0,1 \cos ^2(20 t)\)
Biểu thức động năng: \(W_d=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin ^2\left(\omega t+\varphi_0\right)=0,1 \sin ^2(20 t)\)

- Dựa vào đồ thị ta có thể thấy những vị trí giao nhau của 2 đồ thị chính là thời điểm cho biết động năng và thế năng bằng nhau. Từ đó ta có thể thấy sau mỗi khoảng thời gian ngắn nhất là \( \frac{T}{4}\) thì động năng và thế năng lại bằng nhau.

- Áp dụng vào bài toán, thời điểm hệ bắt đầu dao động thì động năng và thế năng bằng nhau lần thứ nhất, sau khoảng thời gian \( \frac{T}{4}= \frac{2}{4}\)=\(0,5s\) kể từ khi hệ bắt đầu dao động, động năng và thế năng bằng nhau lần thứ hai.

Thời điểm ban đầu vật bắt đầu dao động điều hoà từ vị trí cân bằng theo chiều âm của trục toạ độ nên động năng cực đại, thế năng cực tiểu.

Đồ thị động năng, thế năng:

Những điểm trên đồ thị có động năng = thế năng là những điểm giao nhau của đồ thị, tại các thời điểm \( \frac{T}{4}\);\( \frac{3T}{4}\);\( \frac{5T}{4}\);\( \frac{7T}{4}\);\( \frac{9T}{4}\);...