Bài 2: Phương trình dao động điều hoà

Phương trình li độ, vận tốc, gia tốc của vật dao động điều hoà biến thiên điều hoà theo thời gian và được biểu diễn dưới dạng đồ thị hình sin.

Đối với chuyển động thẳng đều hoặc chuyển động thẳng biến đổi điều thì mối liên hệ giữa độ dịch chuyển, vận tốc, gia tốc thường là các mối quan hệ hàm bậc nhất hoặc bậc hai, được biểu diễn dưới dạng các đường thẳng đi qua gốc toạ độ, song song với trục thời gian, hoặc một nhánh của đường parabol.

Sự khác nhau giữa hình dạng quỹ đạo chuyển động và đồ thị li độ của vật dao động theo thời gian là:

- Dao động của con lắc lò xo chuyển động qua lại quanh một VTCB xác định (vị trí khi treo vật cân bằng) có dạng quỹ đạo là một đoạn thẳng được giới hạn bởi vị trí cao nhất (vị trí nén nhiều nhất) và vị trí thấp nhất (vị trí dãn nhiều nhất).

- Đồ thị li độ - thời gian có dạng hình sin.

a) Biên độ dao động \(A=0,2 \mathrm{~cm}\)
Chu kì dao động \(T\) = 0,4 s
Tần số dao động \(f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,4}=2,5 \mathrm{~Hz}\)
Tần số góc \(\omega=2 \pi f=5 \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)
b) Li độ của vật dao động tại thời điểm \(\mathrm{t}_1\) ứng với điểm \(\mathrm{A}\) là \(\mathrm{x}_{\mathrm{A}}=-0,1 \mathrm{~cm}\)
Li độ của vật dao động tại thời điểm \(t_2\) ứng với điểm \(B\) là \(x_B=-0,2 \mathrm{~cm}\)
Li độ của vật dao động tại thời điểm \(\mathrm{t}_3\) ứng với điểm \(\mathrm{C}\) là \(\mathrm{x}_{\mathrm{C}}=0\).
c) Tại thời điểm ban đầu vật chuyển động từ VTCB theo chiều dương nên \(\varphi_0=-\frac{\pi}{2}\)
Đồ thị độ dịch chuyển của vật dịch xuống một đoạn \(A \cos \varphi_0=0,2 . \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)=0\), tức là đồ thị độ dịch chuyển - thời gian và đồ thị li độ - thời gian trùng nhau.
Độ dịch chuyển của vật dao động tại thời điểm \(\mathrm{t}_1\) ứng với điểm \(\mathrm{A}\) là \(\mathrm{d}_{\mathrm{A}}=-0,1 \mathrm{~cm}\)
Độ dịch chuyển của vật dao động tại thời điểm \(\mathrm{t}_2\) ứng với điểm \(\mathrm{B}\) là \(\mathrm{d}_{\mathrm{B}}=-0,2 \mathrm{~cm}\)
Độ dịch chuyển của vật dao động tại thời điểm \(\mathrm{t}_3\) ứng với điểm \(\mathrm{C}\) là \(\mathrm{d}_{\mathrm{C}}=0\).

a) Hình dạng đồ thị vận tốc - thời gian của vật có dạng hình sin.
b) Chu kì của vận tốc của vật: \(T=0,66 \mathrm{~s}\).
c) Biên độ dao động: \(A=0,44 \mathrm{~cm}\)
Tốc độ cực đại: \(v_{\max }=4,2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}\)
Tốc độ góc: \(\omega=\frac{2 \pi}{T} \approx 9,52(\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)
Mối liên hệ giữa tốc độ cực đại và biên độ của vật gần đúng theo công thức: \(v_{\max }=A \omega\)
d) Độ lệch pha của vận tốc so với li độ của vật là \(\Delta \varphi=\frac{\pi}{2} \mathrm{rad}\)

Khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì vận tốc của vật vào thời điểm đó bằng với tốc độ cực đại:
\(v_{\max }=A \omega=A . \frac{2 \pi}{T}=10 . \frac{2 \pi}{2}=10 \pi(\mathrm{cm} / \mathrm{s})\)
Lưu ý: nếu bài cho vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm thì khi đó vận tốc \(v=-A \omega\)

a) Hình dạng đồ thị gia tốc - thời gian của vật có dạng hình sin.
b) Chu kì của gia tốc của vật: \(T=0,66 \mathrm{~s}\).
c) Biên độ dao động: \(A=0,44 \mathrm{~cm}\)
Gia tốc cực đại: \(a_{\max }=40 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2\)
Tốc độ góc: \(\omega=\frac{2 \pi}{T} \approx 9,52(\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)
Mối liên hệ giữa gia tốc cực đại và biên độ của vật gần đúng với công thức: \(a_{\max }=A \omega^2\)
d) Độ lệch pha của gia tốc so với li độ của vật: \(\Delta \varphi=\pi(\mathrm{rad})\)

Do \(F=−mω^2x\) nên lực và li độ ngược pha với nhau. Ví dụ thời điểm ban đầu vật xuất phát từ vị trí biên âm thì ta có đồ thị lực tác dụng thời gian như hình vẽ dưới.

Biên độ dao động: \(A=0,44 \mathrm{~cm}\)
Tốc độ cực đại: \(v_{\max }=4,2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}\)
Gia tốc cực đại: \(\mathrm{a}_{\max }=40 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2\)
Chu kì của gia tốc của vật: \(\mathrm{T}=0,66 \mathrm{~s}\).
Tốc độ góc: \(\omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{100}{33} \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)
a) Tại thời điểm ban đầu vật đi từ biên âm tiến về VTCB nên pha ban đầu \(\varphi_0=\pi(\mathrm{rad})\)
Khi đó, phương trình li độ có dạng:
\(x=A \cos \left(\omega t+\varphi_o\right)=0,44 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} t+\pi\right)(\mathrm{cm})\)
Phương trình vận tốc có dạng:
\(v=\omega A \cos \left(\omega t+\varphi_0+\frac{\pi}{2}\right)=4,2 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} t+\frac{3 \pi}{2}\right)(\mathrm{cm} / \mathrm{s})\)
Phương trình gia tốc có dạng:
\(a=-\omega^2 A \cos \left(\omega t+\varphi_0\right)=-40 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} t+\pi\right)\left(\mathrm{cm} / \mathrm{s}^2\right)\)

b)

Với các đường kẻ màu xanh, cam, vàng tương ứng với các thời điểm 0,5 s; 0,75 s; \(1 \mathrm{~s}\).
Từ đồ thị có thể thấy:
- Khi \(\mathrm{t}=\) 0,5 s thì vật đang có li độ âm và đang tiến về biên âm, vận tốc âm, gia tốc dương.
- Khi \(\mathrm{t}=0,75 \mathrm{~s}\) thì vật đang có li độ âm và đang tiến về VTCB, vận tốc dương, gia tốc dương.
- Khi \(\mathrm{t}=1 \mathrm{~s}\) thì vật đang có li độ dương và đang tiến về VTCB, vận tốc âm, gia tốc âm.
c) Nghiệm lại với các phương trình.
- Tại thời điểm \(\mathrm{t}=0,5 \mathrm{~s}\)
\(\begin{aligned}& x=0,44 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} \cdot 0,5+\pi\right)=-0,02(\mathrm{~cm}) \\& v=4,2 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} \cdot 0,5+\frac{3 \pi}{2}\right)=-4,19(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}) \\& a=-40 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} \cdot 0,5+\pi\right)=1,9\left(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2\right)\end{aligned}\)
- Tại thời điểm \(\mathrm{t}=0,75 \mathrm{~s}\)
\(\begin{aligned}& x=0,44 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} \cdot 0,75+\pi\right)=-0,29(\mathrm{~cm}) \\& v=4,2 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} \cdot 0,75+\frac{3 \pi}{2}\right)=3,17(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}) \\& a=-40 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} \cdot 0,75+\pi\right)=26,2\left(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2\right)\end{aligned}\)
- Tại thời điểm \(\mathrm{t}=1 \mathrm{~s}\)
\(\begin{aligned}& x=0,44 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} \cdot 1+\pi\right)=0,438(\mathrm{~cm}) \\& v=4,2 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} \cdot 1+\frac{3 \pi}{2}\right)=-0,4(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}) \\& a=-40 \cos \left(\frac{100 \pi}{33} \cdot 1+\pi\right)=-39,8\left(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2\right)\end{aligned}\)

Phương trình vận tốc: \(v=\omega A \cos \left(\omega t+\varphi_0+\frac{\pi}{2}\right)\)
Phương trình gia tốc: \(a=\omega^2 A \cos \left(\omega t+\varphi_0+\pi\right)\)
Độ lệch pha giữa gia tốc và vận tốc: \(\Delta \varphi=\frac{\pi}{2}\) tức là gia tốc và vận tốc vuông pha với nhau.

a) Từ phương trình li độ ta xác định được:
Biên độ: \(A=2\) mm = 0,002 m
Tần số góc: \(180 \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)
Chu kì: \(T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{180 \pi}=\frac{1}{90}(s)\)
Tần số: \(f=\frac{1}{T}=90 \mathrm{~Hz}\)
Pha ban đầu: \(\varphi_0=0(\mathrm{rad})\)
b) Phương trình vận tốc: \(v=\omega A \cos \left(\omega t+\varphi_0+\frac{\pi}{2}\right)=0,36 \pi \cos \left(180 \pi t+\frac{\pi}{2}\right)(\mathrm{m} / \mathrm{s})\)
Phương trình gia tốc: \(a=\omega^2 A \cos \left(\omega t+\varphi_0+\pi\right)=64,8 \pi^2 \cos (180 \pi t+\pi)\left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^2\right)\)

Khi làm việc dài ngày trên các trạm không gian vũ trụ, việc theo dõi các chỉ số sức khoẻ như chiều cao, khối lượng cơ thể của các nhà du hành vũ trụ rất quan trọng. Khi đó cần có loại cân đặc biệt để xác định khối lượng của nhà du hành vũ trụ.

Dụng cụ này được thiết kế để cho phép các nhà du hành xác định khối lượng của họ ở điều kiện không trọng lượng. Nó là một cái ghế có khối lượng m gắn ở đầu một lò xo có độ cứng k. Đầu kia của lò xo được gắn vào một điểm cố định của trạm. Một máy đếm điện tử được kết nối với chiếc ghế có thể đo được chu kì dao động của ghế. Từ đó sử dụng các công thức trong dao động điều hoà của con lắc lò xo thì xác định được khối lượng M của nhà du hành vũ trụ.

Công thức xác định khối lượng M: \(M=\frac{K }{4 \pi^2}T^2-m\)

Từ đồ thị trên xác định được:
Biên độ dao động: \(A=1 \mathrm{~cm}\)
Tốc độ cực đại: \(v_{\max }=4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}\)
Chu kì gần đúng với giá trị \(\mathrm{T}=1,6 \mathrm{~s}\).
Tốc độ góc: \(\omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{1,6}=\frac{5 \pi}{4}(\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)
Tại thời điểm ban đầu vật đi từ biên dương tiến về VTCB nên phương trình li độ có dạng: \(x=1 \cos \left(\frac{5 \pi}{4} t\right) \mathrm{cm}\) với \(\varphi_0=0\)
Phương trình vận tốc có dạng: \(v=\omega A \cos \left(\omega t+\varphi_0+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{5 \pi}{4} \cos \left(\frac{5 \pi}{4} t+\frac{\pi}{2}\right)(\mathrm{cm} / \mathrm{s})\)

Tần số \(\mathrm{f}=1 \mathrm{~Hz} \Rightarrow \omega=2 \pi f=2 \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)
Cách 1: Tại thời điểm ban đầu vật ở vị trí biên âm nên \(\varphi_0=\pi(\mathrm{rad})\)
Phương trình li độ: \(x=A \cos \left(\omega t+\varphi_0\right)=4 \cos (2 \pi t+\pi)(\mathrm{cm})\)
Phương trình vận tốc: \(v=\omega A \cos \left(\omega t+\varphi_0+\frac{\pi}{2}\right)=8 \pi \cos \left(2 \pi t+\frac{3 \pi}{2}\right)(\mathrm{cm} / \mathrm{s})\)
Phương trình gia tốc: \(a=-\omega^2 x\)
Tại thời điểm \(\mathrm{t}=1 \mathrm{~s}\) có:
Li độ: \(x=4 \cos (2 \pi .1+\pi)=-4(\mathrm{~cm})\)
Vận tốc: \(v=8 \pi \cos \left(2 \pi t+\frac{3 \pi}{2}\right)=0(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})\)
Gia tốc: \(a=-(2 \pi)^2.(-4)=16 \pi^2\left(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2\right)\)
Cách 2: Ta có chu kì \(\mathrm{T}=1 \mathrm{~s}\) nên sau khoảng thời gian \(\mathrm{t}=1 \mathrm{~s}\) thì vật lặp lại trạng thái dao động như cũ. Nên tại thời điểm \(\mathrm{t}=1 \mathrm{~s}\) có:
Li độ: \(x=-A=-4 \mathrm{~cm}\) (vì vật đang ở biên âm)
Vận tốc: v = 0 (vì vật ở biên có vận tốc bằng 0)
Gia tốc: \(a=\omega^2 A=16 \pi^2\left(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2\right)\) (vì ở biên âm gia tốc có giá trị cực đại và nhận giá trị dương)

Tại thời điểm \(t_1\) thì gia tốc của vật có giá trị \(a=−ω^2A\) nên vật đang ở vị trí biên dương, khi đó vận tốc bằng 0.

Tại thời điểm \(t_2\) thì gia tốc của vật có giá trị bằng 0 và đang tăng nên vật đang ở vị trí cân bằng và đang đi theo chiều âm, khi đó vận tốc có giá trị \(v=−ωA�\)

Tại thời điểm \(t_3\) thì gia tốc của vật có giá trị a=\(ω^2A\)nên vật đang ở vị trí biên âm, khi đó vận tốc bằng 0.