41
Tính nhanh giá trị của biểu thức:
\(x^2+\frac{1}{2} x+\frac{1}{16}\) tại \(x=99,75\)
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn
\((a+b)^2=a^2+2 a b+b^2\)
Sau đó, ta thay x vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.
\(x^2+\frac{1}{2} x+\frac{1}{16}=x^2+2 . x . \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^2=\left(x+\frac{1}{4}\right)^2\)
Thay x \(=99,75\) vào biểu thức ta được: \(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=(99,75+0,25)^2=100^2=10000\)
41
Chứng minh đẳng thức \((10 a+5)^2=100 a(a+1)+25\). Từ đó em hãy nêu một quy tắc tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng là 5 .
Áp dụng: Tính \(25^2 ; 35^2\)
- Sử dụng các hẳng đẳng thức đáng nhớ để phân tích VT
\((a+b)^2=a^2+2 a b+b^2\)
- Sau đó, ta chứng minh \(V T=V P\)
- Sau đó giải để tính được \(25^2 ; 35^2\)
\(V T=(10 a+5)^2\)
\(=(10 a)^2+2.10 a .5+5^2\)
\(=100 a^2+100 a+25 \)
\(=\left(100 a^2+100 a\right)+25\)
\(=100 a(a+1)+25=V P\)
Vậy \((10 a+5)^2=100 a(a+1)+25\)
Quy tắc: Muốn tính bình phương một số có tận cùng bằng 5, ta nhân 100 với tích số chục và số liền sau số chục rồi cộng với 25.
Áp dụng:
\(\begin{aligned} & 25^2=100.2 .3+25=600+25=625 \\ & 35^2=100.3 .4+25=1200+25=1225 \end{aligned}\)
41
Tính nhanh giá trị của các biểu thức:
a) \(x^3+3 x^2+3 x+1\) tại \(\mathrm{x}=99\).
b) \(x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3\) tại \(=88\) và \(\mathrm{y}=-12\).
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn
a) \((a+b)^3=a^3+3 \cdot a^2 \cdot b+3 \cdot a \cdot b^2+b^3\)
b) \((a-b)^3=a^3-3 \cdot a^2 \cdot b+3 \cdot a \cdot b^2-b^3\)
Sau đó thay \(\mathrm{x}\) vào biểu thức để tính giá trị biểu thức
a) \(x^3+3 x^2+3 x+1=(x+1)^3\)
Thay \(x=99\) vào biểu thức ta được:
\((99+1)^3=100^3=1000000\).
b) \(x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3=(x-y)^3\)
Thay \(x=88\) và \(y=-12\) vào biểu thức ta được:
\([88-(-12)]^3=100^3=1000000\).
41
Rút gọn biếu thức sau:
a) \((x-2)^3+(x+2)^3-6 x(x+2)(x-2)\)
b) \((2 x-y)^3+(2 x+y)^3\).
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển
\(\begin{aligned} & (a+b)^3=a^3+3 . a^2 . b+3 . a . b^2+b^3 \\ & (a-b)^3=a^3-3 . a^2 . b+3 . a . b^2-b^3 \end{aligned}\)
a)
\(\begin{aligned} & (x-2)^3+(x+2)^3-6 x(x+2)(x-2) \\ & =(x-2+x+2) .\left[(x-2)^2-(x-2)(x+2)+(x+2)^2\right]-6 x\left(x^2-4\right) \\ & =2 x\left(x^2-4 x+4-x^2+4+x^2+4 x+4\right)-\left(6 x^3-24 x\right) \\ & =2 x .\left(x^2+12\right)-6 x^3+24 x \\ & =2 x^3+24 x-6 x^3+24 x \\ & =-4 x^3+48 x \end{aligned}\)
b)
\(\begin{aligned} & (2 x-y)^3+(2 x+y)^3 \\ & =(2 x-y+2 x+y)\left[(2 x-y)^2-(2 x-y)(2 x+y)+(2 x+y)^2\right] \\ & =4 x .\left(4 x^2-4 x y+y^2-4 x^2+y^2+4 x^2+4 x y+y^2\right) \\ & =4 x .\left(4 x^2+3 y^2\right) \\ & =4 x . 4 x^2+4 x .3 y^2 \\ & =16 x^3+12 x y^2 \end{aligned}\)
41
Chứng minh rằng \(a^3+b^3=(a+b)^3-3 a b(a+b)\).
Áp dụng, tính \(a^3+b^3\) biết \(a+b=4\) và \(a b=3\).
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển VP
\((a+b)^3=a^3+3 . a^2 . b+3 . a . b^2+b^3\)
Sau đó chứng minh \(V P=V T\).
Từ đó, thay dữ kiện đề bài để tính giá trị biểu thức \(a^3+b^3\)
\(V P=(a+b)^3-3 a b(a+b)\)
\(=\left(a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3\right)-(3 a b . a+3 a b . b) \)
\(=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3-3 a^2 b-3 a b^2 \)
\(=a^3+b^3=V T\)
Vậy \(a^3+b^3=(a+b)^3-3 a b(a+b)=4^3-3.3 .4=28\)
41
Bác Tùng gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất không đổi x mỗi năm (tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp). Biểu thức \(S=200(1+x)^3\) (triệu đồng) là số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm.
a) Tính số tiền bác Tùng nhận được sau 3 năm khi lãi suất là \(x=5,5 \%\).
b) Khai triển \(S\) thành đa thức theo x và xác định bậc của đa thức.
a) Thay \(x=5,5 \%\) vào biểu thức \(S\) để tính số tiền.
b) Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển
\((a+b)^3=a^3+3 . a^2 . b+3 . a . b^2+b^3\)
a) Thay \(x=5,5\%\) vào biểu thức \(S\) ta được:
\(S=200 .(1+0,055)^3 \approx 234,85\) (triệu đồng)
b)\(S=200(1+x)^3\)
\(=200\left(1+3.1^2 \cdot x+3.1 . x^2+x^3\right)\)
\(=200+600 x+600 x^2+200 x^3\)
Đa thức có bậc là 3.
