Luyện tập chung

* Hình 3.36 a)
Tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có: \(\widehat{A}=\widehat{C}=100^{\circ} ; \widehat{B}=\widehat{D}=80^{\circ}\)
Do đó, tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành.
* Hình 3.36 b)
Tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có: \(\widehat{B} \neq \widehat{D}\left(70^{\circ} \neq 75^{\circ}\right)\).
Do đó, tứ giác \(A B C D\) không là hình bình hành.
* Hình 3.36 c)
Đặt \(\widehat{B C \mathrm{x}}=80^{\circ}\) (như hình vẽ)
Ta có: \(\widehat{D}=\widehat{B C \mathrm{x}}=80^{\circ}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(\mathrm{AD} / /\) BC.
Tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có:
- \(A D / / B C\) (chứng minh trên)
- \(A D=B C\) (giả thiết)
Do đó, tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành.
Vậy tứ giác \(A B C D\) trong Hình 3.36 a) và 3.36 c) là hình bình hành; tứ giác \(A B C D\) trong Hình 3.36b) không là hình bình hành.

a) Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B / / C D\).
Tứ giác \(A M C N\) có \(A M / / C D\) (vì \(A B\) // CD); \(A M=C N\) (giả thiết).
Suy ra, tứ giác \(\mathrm{AMCN}\) là hình bình hành.
Do đó \(\mathrm{AN}=\mathrm{CM}\) (đpcm).
b) Vì tứ giác \(\mathrm{AMCN}\) là hình bình hành suy ra \(\widehat{A M C}=\widehat{A N C}\) (đpcm).

Ta thực hiện vẽ tứ giác ABCD theo các bước ở đề bài như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng a song song với AB

Bước 2. Lấy điểm C ∈ a

Bước 3. Trên a chọn D sao cho CD = AB và A, D nằm cùng phía đối với BC

Nối AD, BC ta có tứ giác ABCD là hình bình hành

Tứ giác ABCD là hình bình hành do:

• AB // CD (vì AB // a; C, D ∈ a);

• AB = CD (giả thiết).

a) Vì \(A D>A B(5 \mathrm{~cm}>3 \mathrm{~cm})\) nên tia phân giác của góc \(A\) cắt cạnh \(B C\).

b) Gọi E là giao điểm của tia phân giác góc \(\mathrm{A}\) với cạnh \(\mathrm{BC}\).
Khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm \(C\) tức là khoảng cách từ điểm \(\mathrm{E}\) đến \(\mathrm{C}\), chính là độ dài đoạn \(\mathrm{EC}\).
Vi \(A E\) là tia phân giác của \(\widehat{B A D}\) nên \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)
Vi \(A D / / B C\) (vì tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành) nên \(\widehat{A_2}=\widehat{E_1}\).
Do đó \(\widehat{A_1}=\widehat{E_1}\).
Tam giác \(\mathrm{ABE}\) cân tại \(\mathrm{B}\) (vì \(\widehat{A_1}=\widehat{E_1}\) ) suy ra \(\mathrm{AB}=\mathrm{BE}\).
Mà \(A D=B C\) (vì \(A B C D\) là hình bình hành).
Ta có \(\mathrm{BC}=\mathrm{BE}+\mathrm{EC}\).
Suy ra \(E C=B C-E C=5-3=2(\mathrm{~cm})\).
Vậy EC = \(2 \mathrm{~cm}\).

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

a) Gọi ba điểm không thẳng hàng đó là A, B, C. Khi đó ta cần tìm điểm D để bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của hình bình hành. Gọi (H) là hình bình hành cần tìm.

+ TH1. Nếu A là đỉnh đối của D trong (H), khi đó trung điểm của AD trùng với trung điểm của BC.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có M cũng là trung điểm của AD. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD, ta được hình bình hành ABDC là (H).

+ TH2. Nếu B là đỉnh đối của D trong (H), khi đó trung điểm của BD trùng với trung điểm của AC.

Gọi N là trung điểm của AC. Ta có N cũng là trung điểm của BD. Trên tia đối của tia NB lấy điểm D sao cho BN = ND, ta được hình bình hành ABCD là (H).

+ TH3. Nếu C là đỉnh đối của D trong (H), khi đó trung điểm của CD trùng với trung điểm của AB.

Gọi P là trung điểm của AB. Ta có P cũng là trung điểm của CD. Trên tia đối của tia PC lấy điểm D sao cho CP = PD, ta được hình bình hành ACBD là (H).

b) Theo phần a, ta thấy có 3 điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Khi D là đỉnh đối của A thì ta có hình bình hành ABDC.

Khi D là đỉnh đối của B thì ta có hình bình hành ABCD.

Khi D là đỉnh đối của A thì ta có hình bình hành ACBD.