Luyện tập chung

Vẽ tia \(D x\) đi qua điểm \(A\).
vì \(\widehat{D A B}\) và \(\widehat{\mathrm{BAx}}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat{D A B}+\widehat{\mathrm{BAx}}=180^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{\mathrm{BAx}}=180^{\circ}-\widehat{D A B}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\)
Ta có \(\widehat{A D C}=\widehat{\mathrm{BAx}}=60^{\circ}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}\).
Vậy tứ giác \(A B C D\) là hình thang.

Xét tam giác \(A B D\) cân tại \(A(\) vì \(A B=A D\) ), ta có:
- \(\widehat{A B D}=\widehat{A D B}=30^{\circ}\)
\(\cdot \widehat{A}+\widehat{A B \mathrm{D}}+\widehat{A \mathrm{DB}}=180^{\circ}\) hay \(\widehat{A}+30^{\circ}+30^{\circ}=180^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{A}=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}\)
Vì \(\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}\) nên \(\widehat{A B D}=\widehat{B D C}=30^{\circ}\) (hai góc so le trong).
Do đó \(\widehat{A D C}=\widehat{A D B}+\widehat{C D B}=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}\)
Vi tứ giác \(A B C D\) là hình thang cân nên \(\widehat{A D C}=\widehat{C}=60^{\circ}\)
Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{A B C}+\widehat{C}+\widehat{A D C}=360^{\circ}\)
\(120^{\circ}+60^{\circ}+60^{\circ}+\widehat{A B C}=360^{\circ}\)
\(240^{\circ}+\widehat{A B C}=360^{\circ}\)
Suy ra \(=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}\)
Vậy số đo các góc của hình thang \(\mathrm{ABCD}\) là \(\widehat{A}=120^{\circ} ; \widehat{A B C}=120^{\circ} ; \widehat{C}=60^{\circ} ; \widehat{A D C}=60^{\circ}\).

* Xét tam giác \(A B D\) cân tại \(A\) (vì \(A B=A D\) ) ta có:
- \(\widehat{A B D}=\widehat{A D B}=40^{\circ}\)
- \(\widehat{A}+\widehat{A B D}+\widehat{A D B}=180^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{A B D}-\widehat{A D B}=180^{\circ}-40^{\circ}-40^{\circ}=100^{\circ}\)
Ta có \(\widehat{A D B}+\widehat{B D C}=120^{\circ}\) suy ra \(\widehat{B D C}=120^{\circ}-\widehat{A D B}=120^{\circ}-40^{\circ}=80^{\circ}\).
* Xét tam giác \(B C D\) cân tại \(C\) (vì \(B C=C D\) ) ta có:
\(\widehat{C B D}=\widehat{C D B}=80^{\circ}\)
- \(\widehat{C}+\widehat{C B \mathrm{D}}+\widehat{C \mathrm{DB}}=180^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{C}=180^{\circ}-\widehat{C B \mathrm{D}}-\widehat{C \mathrm{DB}}=180^{\circ}-80^{\circ}-80^{\circ}=20^{\circ}\)
Ta có: \(\widehat{A B C}=\widehat{A B D}+\widehat{C B D}=40^{\circ}+80^{\circ}=120^{\circ}\)
Vậy số đo các góc của tứ giác \(A B C D\) là \(\widehat{A}=100^{\circ} ; \widehat{A B C}=120^{\circ} ; \widehat{C}=20^{\circ}\)

a) Vì tam giác \(A B C\) đều nên \(\widehat{B A C}=\widehat{A B C}=\widehat{A C B}=60^{\circ}\)
Vì PM // \(\mathrm{BC}\) nên \(\widehat{A B C}=\widehat{A P M}=60^{\circ}\)
Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // \(\mathrm{AP}\) ) có \(\widehat{A B C}=\widehat{A P M}\)
Do đó tứ giác APMR là hình thang cân.
b) Vì tứ giác \(A P M R\) là hình thang cân nên \(A M=P R\) (1)
Vì MQ // AC nên \(\widehat{B Q M}=\widehat{A C B}=60^{\circ}\)
Tứ giác \(\mathrm{BPMQ}\) là hình thang (vì \(\mathrm{PM} / / \mathrm{BQ}\) ) có \(\widehat{B Q M}=\widehat{A C B}\) nên \(\mathrm{BPMQ}\) là hình thang cân.
Suy ra \(\mathrm{BM}=\mathrm{PQ}\) (2)
Chứng minh tương tự, ta có \(\mathrm{MC}=\mathrm{QR}\) (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra \(P R+B M+Q R=M A+M B+M C\).
Do đó chu vi tam giác \(\mathrm{PQR}\) bằng tổng độ dài \(\mathrm{MA}+\mathrm{MB}+\mathrm{MC}(\) đpcm) .
c) Vì chu vi tam giác \(\mathrm{PQR}\) bằng tổng độ dài \(\mathrm{MA}+\mathrm{MB}+\mathrm{MC}\)
Để tam giác \(P Q R\) là tam giác đều thì \(P Q=Q R=P R\) suy ra \(M A=M B=M C\)
Khi đó điểm \(M\) cách đều ba đỉnh \(A, B, C\) của tam giác \(A B C\).
Do đó \(\mathrm{M}\) là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời \(\mathrm{M}\) cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).
Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì tam giác PQR là tam giác đều.