Luyện tập chung

a) Có \(\mathrm{BC}=\mathrm{BH}+\mathrm{CH}=16+9=25(\mathrm{~cm})\).

Xét tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) có: \(A B^2+A C^2=B C^2\) (định lý Pythagore).
Xét tam giác \(\mathrm{AHC}\) vuông tại \(\mathrm{H}\) có: \(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AH}^2+\mathrm{CH}^2\) (định lý Pythagore).
Suy ra \(\mathrm{AH}^2=\mathrm{AC}^2-\mathrm{CH}^2\) (1).
Xét tam giác AHB vuông tại \(\mathrm{H}\) có: \(\mathrm{AH}^2+\mathrm{BH}^2=\mathrm{AB}^2\) (định lý Pythagore).
Suy ra \(\mathrm{AH}^2=\mathrm{AB}^2-\mathrm{BH}^2(2)\).
Xét (1) + (2), có:
\(\begin{aligned}& 2 \mathrm{AH}^2=\mathrm{AC}^2-\mathrm{CH}^2+\mathrm{AB}^2-\mathrm{BH}^2 \\& 2 \mathrm{AH}^2=\mathrm{BC}^2-\mathrm{CH}^2-\mathrm{BH}^2 \quad\left(\text { vil } \mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=\mathrm{BC}^2\right) \\& 2 \mathrm{AH}^2=25^2-9^2-16^2 \\& 2 \mathrm{AH}^2=288 \\& \mathrm{AH}^2=144\end{aligned}\)

Suy ra \(\mathrm{AH}=12(\mathrm{~cm})\).
b) Có \(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AH}^2+\mathrm{CH}^2=12^2+9^2=225\).

Suy ra \(\mathrm{AC}=15(\mathrm{~cm})\).
\(\text { Có } A B^2=A H^2+B H^2=12^2+16^2=400 \text {. }\)

Suy ra \(A B=20(\mathrm{~cm})\).

a) Vì \(B M=4 \mathrm{~cm} ; B C=10 \mathrm{~cm}\) nên \(M C=6 \mathrm{~cm}\).

Ta thấy \(6^2+8^2=10^2=100\) hay \(\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=\mathrm{BC}^2\) nên tam giác \(\mathrm{ABC}\) vuông tại \(\mathrm{A}\).
Lại có \(M N / / A B\) (cùng vuông góc với \(A C\) ) và \(M P / / A C\) (cùng vuông góc với \(A B\) ).
Tam giác BMP vuông tại \(\mathrm{P}\) và tam giác \(\mathrm{MCN}\) vuông tại \(\mathrm{N}\) có \(\widehat{B M P}=\widehat{M C N}\) (MP // \(\mathrm{AC}\) và hai góc ở vị trí đồng vị) nên \(\triangle \mathrm{BMP} \sim \Delta \mathrm{MCN}\).
b) Tam giác BMP vuông tại P và tam giác BCA vuông tại A có góc B chung nên
\(\triangle \mathrm{BMP} \sim \triangle \mathrm{BCA}\).
Suy ra \(\frac{B P}{A B}=\frac{M P}{A C}=\frac{B M}{B C}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)
Do đó, \(B P=\frac{2 A B}{5}=\frac{2 \cdot 6}{5}=\frac{12}{5} \mathrm{~cm} ; M P=\frac{2 C A}{5}=\frac{2 \cdot 8}{5}=\frac{16}{5} \mathrm{~cm}\).
Suy ra \(A P=A B-B P=6-\frac{12}{5}=\frac{18}{5} \mathrm{~cm}\).
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông APM:
\(\mathrm{AM}^2=\mathrm{AP}^2+\mathrm{MP}^2=\frac{580}{25} \Rightarrow A M=2 \sqrt{\frac{29}{5}} \mathrm{~cm}\)

a) Xét hai tam giác AEH (vuông tại E) và tam giác AHB (vuông tại H) có góc BAH chung.

Suy ra \(\triangle \mathrm{AEH} \sim \triangle \mathrm{AHB}\).
b) Xét hai tam giác AFH (vuông tại F) và tam giác AHC (vuông tại H) có góc CAH chung.

Suy ra \(\triangle \mathrm{AFH} \sim \triangle \mathrm{AHC}\).
c) Vì \(\triangle \mathrm{AEH} \sim \triangle \mathrm{AHB}\) nên \(\frac{A E}{A H}=\frac{A H}{A B} \Rightarrow A E=\frac{A H^2}{A B}\).

Vì \(\triangle \mathrm{AFH} \backsim \triangle \mathrm{AHC}\) nên \(\frac{A F}{A H}=\frac{A H}{A C} \Rightarrow A F=\frac{A H^2}{A C}\).
Từ (1) và (2) suy ra \(\mathrm{AE} . \mathrm{AB}=\mathrm{AF}\). \(\mathrm{AC}\) hay \(\frac{A F}{A B}=\frac{A E}{A C}\).
Tam giác AFE và tam giác \(A B C\) có \(\widehat{B A C}\) chung; \(\frac{A F}{A B}=\frac{A E}{A C}\).
Do đó, \(\triangle A F E \backsim \triangle A B C\) (c.g.c).

Ta có: \(\widehat{H B A}=\widehat{C B A}=90^{\circ}-\widehat{A C B}=\widehat{H A C}\) (tam giác \(\mathrm{ABC}\) vuông tại A và tam giác HAC vuông tại \(\mathrm{H}\) ).
Xét hai tam giác HBA vuông tại \(\mathrm{H}\) và tam giác HAC vuông tại \(\mathrm{H}\) có \(\widehat{H B A}=\widehat{H A C}\) (chứng minh trên) nên \(\triangle \mathrm{HBA} \backsim \triangle \mathrm{HAC}\).
Suy ra \(\frac{H B}{H A}=\frac{B A}{A C}=\frac{2 B M}{2 A N}=\frac{B M}{A N}\) (Vì \(\mathrm{M}, \mathrm{N}\) là trung điếm của \(\mathrm{AB}\) và \(\mathrm{AC}\) ).
Xét tam giác HBM và tam giác HAN có
\(\frac{B M}{A N}=\frac{H B}{H A}\) (chứng minh trên)
\(\widehat{H B A}=\widehat{H A C}\) hay \(\widehat{H B M}=\widehat{H A N}\)
Do đó \(\triangle \mathrm{HBM} \backsim \triangle \mathrm{HAN}\) (c.g.c).

a) Ta có 60 cm = 0,6 m.

Do tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là cột cờ và bóng của cột cờ đồng dạng với tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là An và bóng của An (vì góc tạo bởi cạnh huyền với mỗi chiếc bóng trong mỗi tam giác là góc tạo bởi tia nắng với chiếc bóng và chúng xem như bằng nhau do mặt trời ở rất xa). Vì vậy nếu gọi h là chiều cao cột cờ ta có:

\(\frac{h}{1,4}=\frac{3}{0,6} \Rightarrow h=\frac{3 \cdot 1,4}{0,6}=7(\mathrm{~m})\)

Vậy cột cờ cao 7 m.
b) Gọi k là chiều dài của bóng cột cờ vào lúc chiều, ta có:
\(\frac{h}{1,4}=\frac{k}{3} \Rightarrow k=\frac{3 h}{1,4}=\frac{3 \cdot 7}{1,4}=15(\mathrm{~m}) \text {. }\)

Vậy bóng cột cờ vào buối chiều dài \(15 \mathrm{~m}\).