Bài tập cuối chương X

Đáp án đúng là C

Trung đoạn là SI.

Đáp án đúng là A

Đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông.

Đáp án đúng là B

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn.

Đáp án đúng là C
Ta có: \(V=\frac{1}{3} S \cdot h \Rightarrow S=\frac{3 V}{h}\).

Hình chóp tam giác đều S.DEF

– Đỉnh: S.

– Cạnh bên: SD, SE, SF.

– Cạnh đáy: DE, DF, EF.

– Đường cao: SO.

– Một trung đoạn: SH.

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD

– Đỉnh: S.

– Cạnh bên: SA, SB, SC, SD.

– Cạnh đáy: AB, BC, CD, AD.

– Đường cao: SI.

– Một trung đoạn: SH.

a) Nửa chu vi của tam giác ABC là: \((12+12+12): 2=18\) (đvđd).

Ta có \(\mathrm{BH}=\mathrm{HA}=\frac{A B}{2}=\frac{12}{2}=6\) (đvđd).
Xét tam giác HBD vuông tại H, theo định lí Pythagore suy ra:
\(H D^2=B D^2-\mathrm{BH}^2=8^2-6^2=28 \text {. }\)

Suy ra HD \(=\sqrt{28}\) (đvđd).
Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là
\(\mathrm{S}_{\mathrm{xq}}=\mathrm{p} \cdot \mathrm{d}=18 \cdot \sqrt{28}=18 \sqrt{28}\) (đvdt).
b) Nữaa chu vi hình vuông ABCD là: (10 . 4): 2 = 20 (đ̛vđd).

Ta có \(\mathrm{CH}=\mathrm{HD}=\frac{C D}{2}=\frac{10}{2}=5\) (đvđd).
Xét tam giác SHD vuông tại H, theo định lí Pythagore suy ra:
\(S H^2=S D^2-H D^2=12^2-5^2=119 \text {. }\)

Suy ra SH \(=\sqrt{119}\) (đマđd).
Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là
\(S_{x q}=p \cdot d=20 \cdot \sqrt{119}=20 \sqrt{119} \text { (đvdt). }\)

Chu vi đáy của hình chóp tứ giác đều bằng \(12 \mathrm{~cm}\) nên cạnh của đáy là: \(12: 4=3\) (cm) (vì đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông).

Diện tích đáy là: \(\mathrm{S}=3 \cdot 3=9\left(\mathrm{~cm}^2\right)\).
Thế tích hình chóp là:
\(V=\frac{1}{3} \mathrm{~S} \cdot \mathrm{h}=\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 9=27\left(\mathrm{~cm}^3\right) .\)

Diện tích mặt đáy của hình chóp tứ giác đều S.ABCD là: \(S=30.30=900\left(\mathrm{~cm}^2\right)\).
Thế tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD là:
\(\mathrm{V}_{\mathrm{hc}}=\frac{1}{3} \mathrm{~S} . \mathrm{h}=\frac{1}{3} \cdot 900 \cdot 30=9000\left(\mathrm{~cm}^3\right) .\)

Thế tích hình lập phương là \(V=30.30\). \(30=27000\left(\mathrm{~cm}^3\right)\).
Vậy thế tích phần gổ bị cắt đi là:
\(V_c=V-V_{h c}=27000-9000=18000\left(\mathrm{~cm}^3\right) \text {. }\)

Có chiều cao của cả khối gỗ là \(19 \mathrm{~cm}\), cạnh của hình lập phương là \(9 \mathrm{~cm}\).
Suy ra chiều cao của hình chóp tứ giác đều là: 19 - 9 = 10 (cm).
Diện tích mặt đáy của hình chóp tứ giác đều là: \(S=9.9=81\left(\mathrm{~cm}^2\right)\).
Thể tích hình chóp tứ giác đều là:
\(V_{h c}=\frac{1}{3} S \cdot h=\frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 10=270\left(\mathrm{~cm}^3\right) \text {. }\)

Thế tích hình lập phương là: \(\mathrm{V}_{\mathrm{hlp}}=9\). 9 . \(9=729\left(\mathrm{~cm}^3\right)\).
Vậy thể tích của khối gỗ là: \(\mathrm{V}=\mathrm{V}_{\mathrm{hc}}+\mathrm{V}_{\mathrm{hlp}}=270+729=999\left(\mathrm{~cm}^3\right)\).

Các mặt bên của hình chóp là tam giác giác đều cạnh bằng \(20: 2=10 \mathrm{~cm}\).
Khi đó đường cao trong một mặt tam giác hay chính là trung đoạn của hình chóp tam giác đều được tạo thành bả̀ng \(\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75} \approx 8,66 \mathrm{~cm}\) (áp dụng định lí Pythagore).

Phần giới hạn bởi các nét đứt tạo thành mặt đáy của hình chóp tam giác đều có cạnh bằng \(10 \mathrm{~cm}\) nên nửa chu vi mặt đáy là: \(\frac{1}{2}(10+10+10)=15(\mathrm{~cm})\).

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều tạo thành là:
\(S_{x q}=p \cdot d \approx 15 \cdot 8,66=129,9\left(\mathrm{~cm}^2\right)\)