Bài tập cuối chương VI

Đáp án: D. \(\frac{3 x}{(x+2)^2}=\frac{3 x}{(-x-2)^2}\).

Giải thích: Khẳng định D là đúng vì \((x+2)^2=(-x-2)^2\).

Đáp án: C. \(\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\).

Giải thích: Khẳng định C là sai vì:
\((x+1)\left(x^2-x+1\right)=x^3+1 \text { và }(x-1)\left(x^2+x+1\right)=x^3-1 .\)

Suy ra \((x+1)\left(x^2-x+1\right) \neq(x-1)\left(x^2+x+1\right)\).
Do đó, \(\frac{x+1}{x-1} \neq \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\).

Đáp án: D. \(16 x^2-4 x\).

Giải thích:

 \(\begin{aligned}  & \frac{2 x^2+1}{4 x-1}=\frac{8 x^3+4 x}{Q} \\  & \begin{aligned}  & \Rightarrow Q=\frac{\left(8 x^3+4 x\right)(4 x-1)}{2 x^2+1}=\frac{4 x\left(2 x^2+1\right)(4 x-1)}{2 x^2+1} \\  &=4 \times(4 \mathrm{x}-1)=16 \mathrm{x}^2-4 \mathrm{x} .  \end{aligned}  \end{aligned}\)

Đáp án: B. 8 .

Giải thích: 

Ta có: \(\frac{-5 x+5}{2 x y}-\frac{-9 x-7}{2 x y}=\frac{-5 x+5+9 x+7}{2 x y}=\frac{4 x+12}{2 x y}=\frac{2 x+6}{x y}\).
Suy ra \(b=2\) và \(c=6\).
Vậy b + c = \(2+6=8\).

Đáp án: A. \(\frac{100 a}{x}\) (đồng).

Giải thích: Sau một năm, người gửi lãi a đồng thì người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là: \(\frac{100 a}{x}\).
\(\text { Vi } \frac{100 a}{x} \cdot x \%=\frac{100 a}{x} \cdot \frac{x}{100}=a \text {. }\)

a) \(P+\frac{1}{x+2}=\frac{x}{x^2-2 x+4}\)

Suy ra \(P=\frac{x}{x^2-2 x+4}-\frac{1}{x+2}\)
\(\begin{aligned}& =\frac{x(x+2)-x^2+2 x-4}{\left(x^2-2 x+4\right)(x+2)} \\& =\frac{x^2+2 x-x^2+2 x-4}{x^3+8} \\& =\frac{4 x-4}{x^3+8} .\end{aligned}\)

b) \(P-\frac{4(x-2)}{x+2}=\frac{16}{x-2}\)

Suy ra \(P=\frac{16}{x-2}+\frac{4 x-8}{x+2}\)
\(\begin{aligned}& =\frac{16(x+2)+(4 x-8)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \\& =\frac{16 x+32+4 x^2-8 x-8 x+16}{(x-2)(x+2)} \\& =\frac{4 x^2+48}{x^2-4}\end{aligned}\)

c) P. \(\frac{x-2}{x+3}=\frac{x^2-4 x+4}{x^2-9}\)

Suy ra \(P=\frac{x^2-4 x+4}{x^2-9}: \frac{x-2}{x+3}\)
\(\begin{aligned}& =\frac{x^2-4 x+4}{x^2-9} \cdot \frac{x+3}{x-2} \\& =\frac{(x-2)^2(x+3)}{(x+3)(x-3)(x-2)} \\& =\frac{x-2}{x-3} .\end{aligned}\)

d) \(P: \frac{x^2-9}{2 x+4}=\frac{x^2-4}{x^2+3 x}\)

Suy ra \(P=\frac{x^2-4}{x^2+3 x} \cdot \frac{x^2-9}{2 x+4}\)
\(\begin{aligned}& =\frac{(x-2)(x+2)(x+3)(x-3)}{x(x+3) \cdot 2(x+2)} \\& =\frac{(x-2)(x-3)}{2 x} .\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} &\begin{aligned} & \text { a) } \frac{2}{3 x}+\frac{x}{x-1}+\frac{6 x^2-4}{2 x(1-x)} \\ & =\frac{2}{3 x}-\frac{x}{1-x}+\frac{2\left(3 x^2-2\right)}{2 x(1-x)} \\ & =\frac{2}{3 x}-\frac{x}{1-x}+\frac{3 x^2-2}{x(1-x)} \\ & =\frac{2(1-x)-x \cdot 3 x+3\left(3 x^2-2\right)}{3 x(1-x)} \\ & =\frac{2-2 x-3 x^2+9 x^2-6}{3 x(1-x)} \\ & =\frac{6 x^2-2 x-4}{3 x(1-x)} \end{aligned}\\ &\begin{aligned} & \text { b) } \frac{x^3+1}{1-x^3}+\frac{x}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1} \\ & =\frac{x^3+1}{(1-x)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x}{1-x}-\frac{x+1}{x^2+x+1} \\ & =\frac{x^3+1-x\left(x^2+x+1\right)-(1-x)(x+1)}{(1-x)\left(x^2+x+1\right)} \\ & =\frac{x^3+1-x^3-x^2-x-1+x^2}{(1-x)\left(x^2+x+1\right)} \\ & =\frac{-x}{1-x^3}=\frac{x}{x^3-1} . \end{aligned} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned}  & \text { c) }\left(\frac{2}{x+2}-\frac{2}{1-x}\right) \cdot \frac{x^2-4}{4 x^2-1} \\  &=\frac{2(1-x)-2(x+2)}{(x+2)(1-x)} \cdot \frac{(x+2)(x-2)}{(2 x-1)(2 x+1)} \\  &= \frac{(-4 x-2)(x-2)}{(1-x)(2 x-1)(2 x+1)} \\  &= \frac{-2(2 x+1)(x-2)}{(1-x)(2 x-1)(2 x+1)} \\  &= \frac{-2 x+4}{(1-x)(2 x-1)}=\frac{2 x-4}{(x-1)(2 x-1)} \\  & \text { d) } 1+\frac{x^3-x}{x^2+1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^2}\right) \\  &=1+\frac{x\left(x^2-1\right)}{x^2+1} \cdot\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^2}\right) \\  &=1+\frac{x\left(x^2-1\right)}{x^2+1} \cdot \frac{1+x-1}{1-x^2} \\  &=1+\frac{-x^2\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)} \\  &=1+\frac{-x^2}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2}{x^2+1} \\  &=1 \\  &= 1+1  \end{aligned}\)

a) Điều kiện xác định của \(P\) là \(x+1 \neq 0\) hay \(x \neq-1\).

b) \(P=\frac{2 x+1}{x+1}=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}-\frac{1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}\).

c) Vì \(P=2-\frac{1}{x+1}\) nên \(\frac{1}{x+1}=2-P\). Nếu \(x\) và \(P\) là số nguyên thì \(\frac{1}{x+1}\) cũng là số nguyên, do đó \(x+1\) là ước của số 1 hay \(x+1 \in\{-1 ; 1\}\).

Do vậy \(x+1=-1\), suy ra \(x=-2\) hoặc \(x+1=1\), suy ra \(x=0\).
Vậy giá trị của P là số nguyên khi \(x=0\) hoặc \(x=-2\).

a) Quãng đường Hà Nội - Vinh dài 5.60 = 300 (km).

b) Trước khi dừng nghỉ, xe chạy trong \(2 \frac{2}{3}=\frac{8}{3}\) (giờ)

Chiều dài chặng đầu là \(\frac{8}{3} .60=160(\mathrm{~km})\).
Chặng còn lại dài \(300-160=140(\mathrm{~km})\).

c) Nếu vận tốc tăng thêm x (km/h) thì vận tốc thực tế của xe chạy trên chặng sau là \(60+x(\mathrm{~km} / \mathrm{h})\)
Thời gian thực tế xe chạy chặng sau là \(\frac{140}{60+x}\) (giờ).
Thời gian xe chạy chặng đầu là \(\frac{8}{3}\) giờ, dừng nghỉ 20 phút \(=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\) giờ.
Vì vậy thực tế xe chạy từ Hà Nội đến Vinh trong thời gian là:
\(P=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}+\frac{140}{60+x}=3+\frac{140}{60+x}\) (giờ)

d) Giá trị của \(P=3+\frac{140}{60+x}\) tại \(x=5 ; x=10 ; x=15\) được cho trong bảng sau:

- Nếu tăng vận tốc thêm \(5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) (tức là \(x=5\) ) thì thời gian chạy Hà Nội đến Vinh là \(\frac{67}{13}>5\). Xe đến Vinh muộn hơn dự kiến là \(\frac{67}{13}-5=\frac{2}{13}\) (giờ).
- Nếu tăng vận tốc thêm \(10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) (tức là \(x=10\) ) thì thời gian chạy Hà Nội đến Vinh là 5 giờ nên xe đến Vinh đúng thời gian dự định.
- Nếu tăng vận tốc thêm 15 km/h (tức là \(x=15\) ) thì thời gian chạy Hà Nội đến Vinh là \(\frac{73}{15}<5\). Xe đến Vinh sớm hơn dự kiến là \(5-\frac{73}{15}=\frac{2}{15}\) (giờ).