Bài tập cuối chương III

* Khẳng định \(\mathrm{A}\) sai vì có xảy ra trường hợp tứ giác mà không có góc tù.

Chẳng hạn như hình chữ nhật có bốn góc vuông, tức là hình chữ nhật không có góc tù.
* Khẳng định \(\mathrm{B}\).
Tứ giác có ba góc nhọn thì tổng số đo của ba góc bé hơn: \(90^{\circ} \cdot 3=\) \(270^{\circ}\).
Khi đó, góc còn lại sẽ lớn hơn: \(360^{\circ}-270^{\circ}=90^{\circ}\).
Do đó, góc còn lại là góc tù nên khẳng định \(\mathrm{B}\) đúng.
* Khẳng định C sai vì có thể xảy ra trường hợp tứ giác có hai góc tù, một góc vuông và một góc nhọn.

Ví dụ: Tứ giác \(A B C D\) có \(\widehat{A}=100^{\circ} ; \widehat{B}=100^{\circ} ; \widehat{C}=90^{\circ} ; \widehat{D}=70^{\circ}\)
* Khẳng định \(\mathrm{D}\) sai vì có thể xảy ra trường hợp tứ giác có ba góc tù.
Vậy khẳng định \(\mathrm{B}\) là đúng.

Khẳng định a) sai vì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau thì chưa chắc tứ giác đó là hình bình hành.

Khẳng định b) sai vì tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành, còn tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau thì chưa khẳng định được là hình bình hành.
Khẳng định c) đúng.
Tứ giác có ba góc vuông thì số đo của góc còn lại là:
\(360^{\circ}-90^{\circ} \cdot 3=90^{\circ}\).
Khi đó, số đo của góc còn lại cũng là góc vuông.
Do đó, tứ giác đã cho có bốn góc vuông nên tứ giác đó là hình chữ nhật.

Khẳng định d) sai vì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau mới là hình thoi.
Vậy khẳng định b) đúng; các khẳng định a), b), d) sai.

a) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Nên tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật.

Do đó khẳng định a) đúng.

b) Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Nên tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.

Do đó khẳng định b) là đúng.

c) Tứ giác có hai cạnh song song là hình thang.

Hình thang có và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Nên tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Do đó khẳng định c) đúng.

d) Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.

Do đó khẳng định d) sai.

Vậy các khẳng định a), b), c) đúng; khẳng định d) sai.

Gọi O là giao điếm của \(A C\) và \(B D\).
Xét \(\triangle A B C\) và \(\triangle B A D\) có:
\(\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\) (giả thiết)
\(\mathrm{AC}=\mathrm{BD}\) (giả thiết)
Cạnh AB chung
Do đó \(\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{BAD}\) (c.c.c)
Suy ra \(\widehat{A D B}=\widehat{A C B}\) (hai góc tương ứng).
Xét \(\triangle A C D\) và \(\triangle B D C\) có:
\(\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\) (giả thiết)
\(\mathrm{AC}=\mathrm{BD}\) (giả thiết)
Cạnh CD chung
Do đó \(\triangle \mathrm{ADC}=\triangle \mathrm{BCD}\) (c.c.c)
Suy ra \(\widehat{D A C}=\widehat{C B D}\) (hai góc tương ứng).
Xét \(\triangle O A D\) và \(\triangle O B C\) có:
\(\widehat{A D B}=\widehat{A C B}\) (chứng minh trên)
\(\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\) (giả thiết)
\(\widehat{D A C}=\widehat{C B D}\) (chứng minh trên)
Do đó \(\triangle O A D=\triangle O B C\) (g.c.g).
Suy ra \(O A=O B ; O C=O D\) (các cặp cạnh tương ứng).
Khi đó, các tam giác \(\mathrm{OAB}, \mathrm{OCD}\) là tam giác cân tại \(\mathrm{O}\) |
Suy ra \(\widehat{O A B}=\widehat{O B A} ; \widehat{O C D}=\widehat{O D C}\)
Xét \(\triangle O A B\) và \(\triangle O C D\) cân tại \(O\) có:
- \(\widehat{A O B}=\widehat{C O D}\) (hai góc đổi đỉnh)
. \(\widehat{O A B}=\widehat{O B A} ; \widehat{O C D}=\widehat{O D C}\)
\(\widehat{O A B}+\widehat{O B A}+\widehat{A O B}=\widehat{O C D}+\widehat{O D C}+\widehat{C O D}=180^{\circ}\)
\(\widehat{O A B}+\widehat{O B A}=\widehat{O C D}+\widehat{O D C}\)
\(2 \widehat{O A B}=2 \widehat{O C D}\)
Suy ra \(\widehat{O A B}=\widehat{O C D}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Do đó \(A B / / C D\).
Tứ giác \(A B C D\) có \(A B / / C D\) nên \(A B C D\) là hình thang.
Hình thang \(A B C D\) có hai đường chéo \(A C=B D\).
Do đó tứ giác \(A B C D\) là hình thang cân.
Vậy nểu tứ giấc có hai đường chéo bă̊ng nhau và một cặp cạnh đổi bắng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân.

a) Xét tứ giác \(B P C D\) ta có: \(B P / / C D, B P=C D\) (cùng bằng \(A B\) ) suy ra \(B P C D\) là hình bình hành
b) Khi tam giác \(\mathrm{ABD}\) vuông cân tại \(\mathrm{A}\) thì \(\widehat{A}=90^{\circ} ; \widehat{A B D}=\widehat{A D B}=45^{\circ}\).
Ta có \(\widehat{A B D}+\widehat{D B P}=180^{\circ}\) (hai góc kề bù).
Suy ra \(\widehat{D B P}=180^{\circ}-\widehat{A B D}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\).
Do đó \(\widehat{D C P}=\widehat{D B P}=135^{\circ}\).
Vì tứ giác \(\mathrm{BPCD}\) là hình bình hành nên \(\mathrm{BD} / / \mathrm{CP}\).
Suy ra \(\widehat{A B D}=\widehat{P}\) (hai góc đồng vị).
Khi đó \(\widehat{P}=45^{\circ}\) mà \(\widehat{P}=\widehat{B D C}\) (vì tứ giác \(\mathrm{BPCD}\) là hình bình hành).
Do đó \(\widehat{P}=\widehat{B D C}=45^{\circ}\).
Vậy khi tam giác \(A B D\) vuông cân tại \(A\) thì số đo các góc của tứ giác BPCD là:
\(\widehat{D C P}=\widehat{D B P}=135^{\circ} ; \widehat{P}=\widehat{B D C}=45^{\circ}\)

a) Ta có \(M P \perp A C, A B \perp A C\) suy ra \(M P / / A B\) nên \(\widehat{C M P}=\widehat{B}\)
Xét tam giác vuông \(\mathrm{CMP}\) và \(\mathrm{MBN}\) ta có:
\(\begin{aligned}& \mathrm{CM}=\mathrm{MB} \text { (gt) } \\& \widehat{C M P}=\widehat{B}\end{aligned}\)
Suy ra \(\triangle \mathrm{CMP}=\triangle \mathrm{MBN}\) (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Xét tứ giác APMN có \(\widehat{P}=\widehat{A}=\widehat{N}=90^{\circ}\) suy ra APMN là hình chữ nhật

Xét tam giác \(A B C\) có: \(M\) là trung điểm \(A B, M P / / A B\) suy ra \(P\) là trung điểm AC

Tương tự ta có: \(\mathrm{M}\) là trung điểm \(\mathrm{AB}, \mathrm{MN} / / \mathrm{AC}\) suy ra \(\mathrm{N}\) là trung điểm \(A B\)
c) Xét tứ giác \(A M C Q\) có: \(P\) là trung điểm \(M Q, P\) là trung điểm \(A C, A C \perp M Q\) suy ra \(A M C Q\) là hình thoi
d) Nếu \(A B C\) vuông cân tại \(A, A M\) là đường trung tuyến suy ra \(A M\) cũng là đường cao suy ra \(\widehat{A M C}=90^{\circ}\)
Xét hình thoi AMCQ có \(\widehat{A M C}=90^{\circ}\) suy ra AMCQ là hình vuông

a) Xét tứ giác BKEN có: \(\widehat{B K E}=\widehat{K E N}=\widehat{E N B}=90^{\circ}\)
Suy ra tứ giác BKEN là hình chữ nhật
b) \(D\) là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(A B\)
Ta có \(\mathrm{BN} / / \mathrm{AC}\) (do \(\mathrm{BKNE}\) là hình chữ nhật) suy ra \(\widehat{M B N}=\widehat{B C A}\) (hai góc đồng vị)
\(\widehat{M B D}=\widehat{A B C}\) (đối đỉnh)
Mà \(\widehat{A B C}=\widehat{B C A}(\) tam giác \(\mathrm{ABC}\) cân tại \(\mathrm{A})\) suy ra \(\widehat{M B N}=\widehat{M B D}\)
Xét tam giác vuông \(M B D\) và \(M B N\) ta có:
AB chung
\(\widehat{A B C}=\widehat{B C A}\)
Suy ra \(\triangle \mathrm{MBD}=\triangle \mathrm{MBN}\) (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra \(\mathrm{MD}=\mathrm{MN}\)
Lại có \(: B K=N E=M E-M N\) suy ra \(B K=N E=M E-M D\)