Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

\(\begin{aligned}(a+b)(a+b)^2=(a+b) .\left(a^2+2 a b+b^2\right)\\ =a . a^2+a . 2 a b+a . b^2+b . a^2+b .2 a b+b . b^2 \\=a^3+2 a^2 b+a b^2+a^2 b+2 a b^2+b^3 \\=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3 \end{aligned}\)

1.
a)
\((x+3)^3=x^3+3 \cdot x^2 \cdot 3+3 \cdot x \cdot 3^2+3^3 \)

\(=x^3+9 x^2+27 x+27\)

b)\((x+2 y)^3\)

\(=x^3+3 . x^2 . 2 y+3 . x .(2 y)^2+(3 y)^3\)

\(=x^3+6 x^2 y+12 x y^2+27 y^3\)
2.
\( (2 x+y)^3-8 x^3-y^3=(2 x)^3+3 .(2 x)^2 . y+3.2 x . y^2+y^3-8 x^3-y^3\)

\(=8 x^2+12 x^2 y+6 x y^2+y^3-8 x^3-y^3 \)

\( =12 x^2 y+6 x y^2 \)

\(\begin{aligned}x^3+9 x^2 y+27 x y^2+27 y^3 \\=x^3+3 . x^2 . 3 y+3 . x .(3 y)^2+(3 y)^3 \\=(x+3 y)^3 \end{aligned}\)

\((a-b)^3=[a+(-b)]^3=a^3+3 . a^2 .(-b)+3 . a .(-b)^2+(-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3\)Từ đó ta có \(((a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3\)

\((2 x-y)^3=(2 x)^3-3 .(2 x)^2 . y+3.2 x. y^2-y^3=8 x^3-12 x^2 y+6 x y^2-y^3\)

\( 8 x^3-36 x^2 y+54 x y^2-27 y^3 \)

\(=(2 x)^3-3 .(2 x)^2 . 3 y+3 .(2 x) .(3 y)^2-(3 y)^3 \)

\(=(2 x-3 y)^3 \)

\((x-y)^3+(x+y)^3\)

\(=x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3+x^3+3 x^2 y+3 x y^2+y^3 \)

\(=\left(x^3+x^3\right)+\left(-3 x^2 y+3 x^2 y\right)+\left(3 x y^2+3 x y^2\right)+\left(-y^3+y^3\right)\)

\(=2 x^3+6 x y^2\)

a) \(\begin{aligned}\left(x^2+2 y\right)^3=\left(x^2\right)^3+3 .\left(x^2\right)^2 . 2 y+3 . x^2 .(2 y)^2+(2 y)^3=x^6+6 x^4 y+12 x^2 y^2+8 y^3 \end{aligned}\)

b) \(\left(\frac{1}{2} x-1\right)^3=\left(\frac{1}{2} x\right)^3-3 .\left(\frac{1}{2} x\right)^2 . 1+3 . \frac{1}{2} x . 1^2-1^3=\frac{1}{8} x^3-\frac{3}{4} x^2+\frac{3}{2} x-1\)

a) \((27+54 x+36 x^2+8 x^3=3^3+3 . 3^2 . 2 x+3 . 3 .(2 x)^2+(2 x)^3=(3+2 x)^3)\)
b)\((64 x^3-144 x^2 y+108 x y^2-27 y^3=(4 x)^3-3 .(4 x)^2. 3 y+3 .4 x.(3 y)^2-(3 y)^3=(4 x-3 y)^3)\)

a) \(x^3+9 x^2+27 x+27\) 

\(=x^3+3 \cdot x^2 \cdot 3+3 \cdot x \cdot 3^2+3^3\)

\(=(x+3)^3\)
Thay \(x=7\) vào biểu thức ta được: \((7+3)^3=10^3=1000\).
b) \(27-54 x+36 x^2-8 x^3\)

\(=3^3-3.3^2 \cdot 2 x+3.3 \cdot(2 x)^2-(2 x)^3\)

\(=(3-2 x)^3\)
Thay \(x=6,5\) vào biểu thức ta được: \((3-2.6,5)^3=(-10)^3=-1000\).

\(\begin{aligned} a)(x-2 y)^3+(x+2 y)^3=x^3-3 . x^2 . 2 y+3 . x .(2 y)^2-(2 y)^3+x^3+3 . x^2 . 2 y+3 . x .(2 y)^2+(2 y)^3=2 x^3+24 x y^2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} b) (3 x+2 y)^3+(3 x-2 y)^3=(3 x)^3+3 .(3 x)^2 . 2 y+3 . 3 x(2 y)^2+(2 y)^3+(3 x)^3-3 .(3 x)^2 . 2 y+3 . 3 x(2 y)^2-(2 y)^3 =54 x^3+72 x y^2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} (a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3 \\-(b-a)^3=-\left(b^3-3 b^2 a+3 b a^2-a^3\right)=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3 \end{aligned}\)

Vậy \((a-b)^3=-(b-a)^3\) (đpcm)