30
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?
a) \(a(a+2 b)=a^2+2 a b\)
b) \(a+1=3 a-1\)
Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.
a) \(a(a+2 b)=a^2+2 a b\) là hằng đẳng thức.
b) \(a+1=3 a-1\) không là hằng đẳng thức vì khi ta thay \(a=2\) thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.
30
Quan sát Hình 2.1
a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a.
b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1b.
c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b?
Diện tích hình chữ nhật = chiều dài . chiều rộng
a) Diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a là: \(a^2-b^2\)
b) Diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1b là: \((a+b)(a-b)\)
c) Diện tích hai hình ở câu a và b bằng nhau
31
Với hai số a,b bất kì, thực hiện phép tính \((a+b)(a-b)\)
Từ đó rút ra liên hệ giữa \(a^2-b^2\) và \((a+b)(a-b)\)
Muốn nhân hai đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.
\((a+b)(a-b)=a . a-a b+b . a-b . b=a^2-b^2+(-a b+b a)=a^2-b^2\)
Từ đó ta được \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
31
a) Tính nhanh \(99^2-1\)
b) Viết \(x^2-9\) dưới dạng tích.
Sử dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
a) \(99^2-1=99^2-1^2=(99+1) .(99-1)=100 . 98=9800\)
b) \(x^2-9=x^2-3^2=(x+3) .(x-3)\)
31
Ở bài toán mở đầu, em hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh như thế nào.
Sử dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\(198.202=(200-2) .(200+2)=200^2-2^2=400-4=396\)
31
Với hai số a,b bất kì, thực hiện phép tính \((a+b) .(a+b)\)
Từ đó rút ra liên hệ giữa \((a+b)^2\) và \(a^2+2 a b+b^2\)
Muốn nhân hai đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.
\((a+b) .(a+b)=a . a+a . b+b . a+b . b=a^2+(a b+a b)+b^2=a^2+2 a b+b^2\)
Từ đó ta được \((a+b)^2=a^2+2 a b+b^2\)
32
1. Khai triển \((2 b+1)^2\)
2. Viết biểu thức \(9 y^2+6 y x+x^2\) dưới dạng bình phương của một tổng
Sử dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2=a^2+2 a b+b^2\)
1. \((2 b+1)^2=(2 b)^2+2.2 b .1+1^2=4 b^2+4 b+1\)
2. \(9 y^2+6 y x+x^2=(3 y)^2+2.3 y . x+x^2=(3 y+x)^2\)
32
Với hai số a, b bất kì, viết \(a-b=a+(-b)\) và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính \((a-b)^2\)
Sử dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2=a^2+2 a b+b^2\)
\((a-b)^2=[a+(-b)]^2=a^2+2 . a .(-b)+(-b)^2=a^2-2 . a b+b^2\)
32
Khai triển \((3 x-2 y)^2\)
Sử dụng hằng đẳng thức \((A-B)^2=A^2-2 A B+B^2\)
\((3 x-2 y)^2=(3 x)^2-2.3 x .2 y+(2 y)^2=9 x^2-12 x y+4 y^2\)
32
Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính \(1002^2\). Chỉ vài giây sau, Nam đã tính ra kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.
Sử dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2=a^2+2 a b+b^2\)
\(1002^2=(1000+2)^2=1000^2+2.1000 .2+2^2=1000000+4000+4=1004004\)
33
Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
a) \(x+2=3 x+1\)
b) \(2 x(x+1)=2 x^2+2 x\)
c) \((a+b) a=a^2+b a\)
d) \(a-2=2 a+1\)
Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.
a) \(x+2=3 x+1\) không là hằng đẳng thức vì khi ta thay \(x=0\) thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.
b) \(2 x(x+1)=2 x^2+2 x\) là hằng đẳng thức.
c) \((a+b) a=a^2+b a\) là hằng đẳng thức.
d) \(a-2=2 a+1\) không là hằng đẳng thức vì khi ta thay \(a=0\) thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.
33
Thay ? bằng biểu thức thích hợp.
a) \((x-3 y)(x+3 y)=x^2-?\);
b) \((2 x-y)(2 x+y)=4 ?-y^2\);
c) \(x^2+8 x y+?=(?+4 y)^2\);
d) \(?-12 x y+9 y^2=(2 x-?)^2\).
Sử dụng ba hằng đẳng thức:
\(\begin{aligned} & \text {+) } A^2-B^2=(A+B)(A-B) \\ & +)(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2 \\ & +)(A-B)^2=A^2-2 A B+B^2 \end{aligned}\)
a) \((x-3 y)(x+3 y)=x^2-9 y^2\);
b) \((2 x-y)(2 x+y)=4 x^2-y^2\);
c) \(x^2+8 x y+16 y^2=(x+4 y)^2\);
d) \(4 x^2-12 x y+9 y^2=(2 x-3 y)^2\).
33
Tính nhanh:
a) \(54.66 ;\)
b) \(203^2\).
Sử dụng 2 hằng đẳng thức:
\(\begin{aligned} & +) A^2-B^2=(A+B)(A-B) \\ & +)(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2 \end{aligned}\)
a) \(54.66=(60-6) \cdot(60+6)=60^2-6^2=3600-36=3564\)
b) \(203^2=(200+3)^2=200^2+2.200 .3+3^2=40000+1200+9=41209\)
33
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) \(x^2+4 x+4\)
b) \(16 a^2-16 a b+4 b^2\)
Sử dụng 2 hằng đẳng thức:
\(\begin{aligned} & +)(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2 \\ & +)(A-B)^2=A^2-2 A B+B^2 \end{aligned}\)
a) \(x^2+4 x+4=x^2+2 \cdot x \cdot 2+2^2=(x+2)^2\)
b) \(16 a^2-16 a b+4 b^2=(4 a)^2-2.4 a .2 b+(2 b)^2=(4 a-2 b)^2\)
33
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \((x-3 y)^2-(x+3 y)^2\)
b) \((3 x+4 y)^2+(4 x-3 y)^2\)
Sử dụng ba hằng đẳng thức:
\(\begin{aligned} & +) A^2-B^2=(A+B)(A-B) \\ & +)(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2 \\ & +)(A-B)^2=A^2-2 A B+B^2 \end{aligned}\)
\(a) (x-3 y)^2-(x+3 y)^2\)
\(=(x-3 y+x+3 y) \cdot(x-3 y-x-3 y)\)
\(=(2 x) \cdot(-6 y)=-12 x y\)
\( b) (3 x+4 y)^2+(4 x-3 y)^2\)
\(=(3 x)^2+2.3 x .4 y+(4 y)^2+(4 x)^2-2.4 x .3 y+(3 y)^2\)
\(=9 x^2+24 x y+16 y^2+16 x^2-24 x y+9 y^2\)
\(=\left(9 x^2+16 x^2\right)+(24 x y-24 x y)+\left(16 y^2+9 y^2\right)\)
\(=25 x^2+25 y^2\)
33
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:
\((n+2)^2-n^2\) chia hết cho 4
Sử dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Nếu 2 số nguyên a, b thỏa mãn a chia hết cho 4 thì a.b chia hết cho 4.
Ta có:
\((n+2)^2-n^2\)
\(=(n+2-n) \cdot(n+2+n)=2 \cdot(2 n+2)\)
\(=2 \cdot 2 \cdot(n+1)=4 \cdot(n+1)\)
Vì \(4 \vdots 4\) nên \(4(n+1) \vdots 4\) với mọi số tự nhiên n.
