Bài 38: Hình chóp tam giác đều

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:     

Giả sử hình chóp tam giác đều trên đỉnh núi là S.ABC. Khi đó tam giác ABC là tam giác đều có cạnh bằng 60 cm, các mặt bên SAB, SAC, SBC là các tam giác cân tại S với cạnh bên dài 96,4 cm.

Nửa chu vi của hình tam giác đều ABC là

p = (60 + 60 + 60) : 2 = 90 (cm).

Gọi SH là đường cao của tam giác SAB. Khi đó SH là trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

Vì tam giác \(S A B\) cân tại \(\mathrm{S}\) nên \(\mathrm{SH}\) đồng thời là đường trung tuyến hay \(\mathrm{H}\) chính là trung điểm của \(\mathrm{AB}\), suy ra \(\mathrm{HA}=\mathrm{HB}=\frac{A B}{2}=\frac{60}{2}=30(\mathrm{~cm})\).

Tam giác SAH vuông tại \(\mathrm{H}\), theo định lý Pythagore, ta có:
\(\mathrm{SA}^2=\mathrm{SH}^2+\mathrm{HA}^2\), suy ra \(\mathrm{SH}^2=\mathrm{SA}^2-\mathrm{HA}^2=(96,4)^2-30^2=8392,96\).
Do đó \(\mathrm{SH} \approx 91,61 \mathrm{~cm}\).
Tổng diện tích các mặt bên của hình chóp hay diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là
\(\mathrm{S}_{\mathrm{xq}} \approx 90 \cdot 91,61=8244,9\left(\mathrm{~cm}^2\right) .\)

Hình chóp tam giác đều S.ABC có:

– Đỉnh: S;

– Cạnh bên: SA, SB, SC;

– Mặt bên: các tam giác SAB, SAC, SBC;

– Mặt đáy: tam giác ABC;

– Đường cao: SO;

– Một trung đoạn: SH.

Chú ý: Ngoài SH ra, còn có những trung đoạn khác.

Nhận thấy các mặt bên của hình chóp được tạo bởi 3 hình tam giác bằng nhau.
Diện tích của một tam giác này là: \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5=15\left(\mathrm{~cm}^2\right)\).
Suy ra tổng diện tích các mặt bên là: \(15 \cdot 3=45\left(\mathrm{~cm}^2\right)\).

Có nửa chu vi mặt đáy là: \(\frac{1}{2}(5+5+5)=\frac{15}{2}(\mathrm{~cm})\).
Có trung đoạn là: \(6 \mathrm{~cm}\).
Suy ra tích của nửa chu vi mặt đáy với trung đoạn của hình chóp tam giác đều là:
\(\frac{15}{2} \cdot 6=45 \text {. }\)

Kết quả này bằng với tổng diện tích các mặt bên của hình chóp.

Xét tam giác SIP vuông tại I, từ định lí Pythagore, suy ra
\(SI^2=S P^2-IP^2=5^2-3^2=16 .\)

Suy ra \(\mathrm{SI}=4 \mathrm{~cm}\).
Trung đoạn của hình chóp tam giác đều S.MNP là \(d=S I=4 \mathrm{~cm}\).
Vi tam giác SMP cân tại S nên đường cao SI đồng thời là đường trung tuyến của tam giác SMP, do đó I là trung điểm của MP. Suy ra MP \(=21 \mathrm{P}=6 \mathrm{~cm}\).

Tam giác đều MNP có nửa chu vi đáy là \(p=\frac{1}{2}(6+6+6)=9(\mathrm{~cm})\).
Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.MNP: \(S_{x q}=9.4=36\left(\mathrm{~cm}^2\right)\).

Nửa chu vi của hình tam giác đều \(A B C\) là
\(p=(60+60+60): 2=90(\mathrm{~cm}) .\)

Vì SH là đường cao của tam giác SBC nên SH là trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

Vì tam giác \(\mathrm{SBC}\) cân tại \(\mathrm{S}\) nên \(\mathrm{SH}\) đồng thời là đường trung tuyến hay \(\mathrm{H}\) chính là trung điểm của \(\mathrm{BC}\), suy ra \(\mathrm{HC}=\mathrm{HB}=\frac{B C}{2}=\frac{60}{2}=30(\mathrm{~cm})\).

Tam giác SCH vuông tại \(\mathrm{H}\), theo định lý Pythagore, ta có:
\(\mathrm{SC}^2=\mathrm{SH}^2+\mathrm{HC}^2 \text {, suy ra } \mathrm{SH}^2=\mathrm{SC}^2-\mathrm{HC}^2=(96,4)^2-30^2=8392,96 \text {. }\)

Do đó \(\mathrm{SH} \approx 91,61 \mathrm{~cm}\).
Tổng diện tích các mặt bên của hình chóp hay diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là
\(\mathrm{S}_{\mathrm{xq}} \approx 90.91,61=8244,9\left(\mathrm{~cm}^2\right) .\)

– Đỉnh: S;

– Cạnh bên: SD, SE, SF;

– Mặt bên: các tam giác SDE, SEF, SDF;

– Mặt đáy: tam giác DEF;

– Đường cao: SO;

– Một trung đoạn: SI.

Học sinh tự cắt và gấp theo hướng dẫn ở đề bài.

a) Vì tam giác MNP đều nên \(M N=N P=M P=6 \mathrm{~cm}\).

Tam giác SNP cân tại S có SI là đường cao nên SI đồng thời là trung tuyến hay I là trung điểm của NP. Suy ra IN \(=\mathrm{IP}=3 \mathrm{~cm}\).

Xét tam giác MIN vuông tại I, theo định lí Pythagore suy ra:
\(M I^2=M N^2-N^2=6^2-3^2=27\).
Suy ra \(\mathrm{MI}=\sqrt{27} \approx 5,2(\mathrm{~cm})\).
Diện tích tam giác MNP là \(S=\frac{1}{2} \cdot M I . N P \approx \frac{1}{2} \cdot 5,2 \cdot 6=15,6\left(\mathrm{~cm}^2\right)\).
b) Thể tích hình chóp S.MNP là
\(V=\frac{1}{3} \cdot S \cdot S H \approx \frac{1}{3} \cdot 15,6 \cdot 5=26\left(\mathrm{~cm}^3\right) \text {. }\)

Mỗi mặt của đèn trang trí là một tam giác đều có cạnh bằng 20 cm.

Hình chóp S.ABC trên mô tả chiếc đèn trang trí, gọi H là trung điểm của AB.

Khi đó SH là trung đoạn của hình chóp tam giác đều S.ABC.

Ta có AH = HB = 20 : 2 = 10 (cm).

Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông SAH, ta suy ra

\(S H^2=S A^2-A H^2=20^2-10^2=300 .\)

Suy ra \(\mathrm{SH}=\sqrt{300} \approx 17,32 \mathrm{~cm}\).
Nửa chu vi mặt đáy \(A B C\) là \(p=\frac{1}{2}(20+20+20)=30(\mathrm{~cm})\).
Tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều S.ABC là:
\(S_{x q}=30 \cdot 17,32=519,6\left(\mathrm{~cm}^2\right) \text {. }\)

Vậy diện tích giấy màu bạn Thu cần sử dụng là 519,6 cm² .