Processing math: 100%

Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Trang 83

Mở đầu

83

Trong môn Bóng đá, độ khó của mỗi pha ghi bàn còn được tính bởi góc sút vào cầu môn là rộng hay hẹp. Nếu biết độ rộng của khung thành là 7,32 m, trái bóng cách hai cột gôn lần lượt là 10,98 m và 14,64 m thì em có cách nào để đo được góc sút ở vị trí này bởi các dụng cụ học tập không?

Mở đầu trang 83 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Đáp ánarrow-down-icon

Vì trong hình vẽ mặt sân được vẽ nghiêng nên nếu đo trực tiếp trong sách giáo khoa sẽ không đúng bằng góc thực tế.

Vẽ một tam giác bằng dụng cụ học tập trên giấy có một góc đúng bằng góc sút. Từ đó sử dụng dụng cụ học tập là thước đo góc để đo góc sút.

Hoạt động 1

83

Cho hai tam giác ABC và ABC có ABAB=ACAC=BCBC
a) Nếu AB=AB thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
b) Nếu AB<AB như Hình 9.11. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho AM=AB. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC và cắt AC tại N.
- Hãy giải thích vì sao AMNABC.
- Hãy chứng tỏ rằng AN=AC,MN=BC để suy ra AMN=ABC (c.c.c).
- Hai tam giác ABC và ABC có đồng dạng với nhau không? Nếu có, em hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng giữa chúng.
c) Nếu AB>AB thì tam giác ABC có đồng dạng với tam giác ABC không? Vì sao?

HĐ1 trang 83 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán
Đáp ánarrow-down-icon

a) Nếu AB=AB thì từ ABAB=ACAC=BCBC, suy ra AC=AC và BC=BC.

Do đó ABC=ABC (c.c.c). Vậy ABCABC.

b) Ta có MN//BC(MAB,NAC). Suy ra AMNABC.

Suy ra AMAB=ANAC=MNBC.
Mà ABAB=ACAC=BCBC nên ABAM=ACAN=BCMN.
Có AM=AB, suy ra AC=AN và BC=MN nên AMN=ΔABC (c.c.c).
Suy ra AMNABC, mà AMNABC nên ABCABC.

c) Nếu AB>AB, bằng cách đổi vai trò cho ABC và ABC cho nhau thì theo câu b), ta có ABCABC.

Câu hỏi

84

Những cặp tam giác nào dưới đây (H.9.13) là đồng dạng? (các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Câu hỏi trang 84 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán
Đáp ánarrow-down-icon

Ta có ABCΔHGK (c.c.c) vì ABHG=BCGK=ACHK=12.

Ta có DEFΔMNP (c.c.c) vì DEMN=EFNP=DFMP=12.

Luyện tập 1

85

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27 cm. Biết rằng AB = 4 cm, BC = 6 cm, DE = 6 cm, FD = 12 cm. Chứng minh ΔABC ∽ ΔDEF.

Đáp ánarrow-down-icon

Vì chu vi tam giác ABC bằng 18 cm.
Suy ra AB+AC+BC=18. Suy ra 4+AC+6=18 nên AC=8(cm).
Vi chu vi tam giác DEF bằng 27 cm.
Suy ra DE+EF+DF=27. Suy ra 6+EF+12=27 nên EF=9(cm)
Ta thấy: ABDE=ACDF=BCEF=46=812=69=23.
Suy ra ABCDEF (c.c.c).

Vận dụng

85

Trở lại tình huống mở đầu. Em hãy vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn. Từ đó tính góc sút bằng góc tương ứng của tam giác vừa vẽ được.

Vuông: Tớ sẽ tính tỉ lệ (7,32 : 10,98 : 14,64) bằng (1 : 1,5 : 2).

Tròn: Tớ sẽ tính tỉ lệ (7,32 : 10,98 : 14,64) bằng (2 : 3 : 4).

Đáp ánarrow-down-icon

Có thể vẽ tam giác ABC có các cạnh lần lượt bằng 2 cm;3 cm;4 cm sau đó xét các tỉ lệ ta thấy 7,322=10,983=14,644=3,66 nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn.

Lấy thước đo góc để đo các góc của tam giác từ đó tính được góc sút.
Ta đo được góc sút bằng khoảng 29.

Hoạt động 2

85

Cho hai tam giác ABC và ABC có độ dài các cạnh (theo đơn vị cm) như Hình 9.15. Biết rằng ˆA=^A=60.
 

HĐ2 trang 85 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán


- So sánh các tỉ số ABAB,ACAC.
- Dùng thước có vạch chia đo độ dài BC,BC và tính tỉ số BCBC.
- Theo em, tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Đáp ánarrow-down-icon

- Ta có: ABAB=ACAC=32.
- Đo được BC2,6 cm;BC3,9 cm.

Tỉ số BCBC=32. Do đó ABAB=ACAC=BCBC.
- Vậy ABCABC (c.c.c) với tỉ số đồng dạng là 32.

Câu hỏi

86

Những cặp tam giác nào trong Hình 9.17 là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Câu hỏi trang 86 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán
Đáp ánarrow-down-icon

Ta có: ACBMPN vì ˆA=ˆM=70 và ACMP=ABMN=12

Luyện tập 2

87

Cho ABCABC. Trên tia đối của các tia CBCB lần lượt lấy các điểm M,M sao cho MCMB=MCMB. Chứng minh rằng ΔABM ABM.

Đáp ánarrow-down-icon
Luyện tập 2 trang 87 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Có MCMB=MCMB. Suy ra MBBCMB=MBBCMB
Suy ra 1BCMB=1BCMB. Do đó, BCMB=BCMB, suy ra BCBC=MBMB.
Vi ABCABC. Suy ra ˆB=^B và ABAB=BCBC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra MBMB=ABAB.
Xét tam giác ABM và tam giác ABM có:
MBMB=ABAB và ˆB=^B (chứng minh trên).
Do đó ABMABM (c.g.c).

Tranh luận

87

Bạn Lan nhận xét rằng nếu tam giác ABC và tam giác ABC có ABAB=ACAC và ˆB=^B thì chúng đồng dạng. Theo em bạn Lan nhận xét đúng không vì sao?

Gợi ý: Khi góc ACB tù, lấy điểm M trên tia BC sao cho tam giác AMC cân (H.9.19) rồi xét xem trong hai tam giác ABC và ABM, tam giác nào đồng dạng với tam giác ABC.

Tranh luận trang 87 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán
Đáp ánarrow-down-icon

Bạn Lan nhận xét không đúng.
Ví dụ lấy ABMΔABC với ^C=ˆM<90 và lấy C trên đoạn MB sao cho AMC cân tại A như H.9.19 thì ABC và ABC không đồng dạng.

Hoạt động 3

88

Bạn Tròn đang đứng ở vị trí điểm A bên bờ sông và nhờ anh Pi tính giúp khoảng cách từ chỗ mình đứng đến chân một cột cờ tại điểm C bên kia sông (H.9.20a). Anh Pi lấy một vị trí B sao cho AB=10 m^ABC=70;^BAC=80 và vẽ một tam giác ABC trên giấy với AB=2 cm^ABC=70;^BAC=80.(H.9.20b).

HĐ3 trang 88 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Em hãy dự đoán xem tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không. Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Đáp ánarrow-down-icon

Dự đoán: Hai tam giác có hình dạng rất giống nhau chỉ khác về kích thước nên chúng có khả năng đồng dạng với nhau. Khi đó tỉ số đồng dạng bằng ABAB=21000=1500.
(AB=10m=1000 cm,AB=2cm)

Hoạt động 4

88

Nếu ΔA'B'C' ∽ ΔABC và anh Pi đo được A′C′ = 3,76 cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét?
 

Đáp ánarrow-down-icon

Nếu ABCABC thì ACAC=ABAB=BCBC.
Mà AC=3,76 cm và ACAC=ABAB suy ra AC=ACAB.AB=3,76:1002:10010=18,8( m)

Câu hỏi

89

Những cặp tam giác nào trong Hình 9.22 là đồng dạng? Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Câu hỏi trang 89 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Đáp ánarrow-down-icon

Xét tam giác MPN có:
ˆP=180ˆMˆN=1806070=50

Các cặp tam giác đồng dạng trong Hình 9.22 là:
+) ACBDFE (g.g) vì ˆA=ˆD=60;ˆB=ˆE=50.
+) ACBMNP (g.g) vì ˆA=ˆM=60;ˆB=ˆP=50.
+) DEFMPN (g.g) vì ˆD=ˆM=60;ˆE=ˆP=50.

Luyện tập 3

89

Luyện tập 3 trang 89 Toán 8 Tập 2: Cho các điểm A, B, C, D như Hình 9.24. Biết rằng ^ABC=^ADB. Hãy chứng minh ABCADB và AB2=AD.AC.

Luyện tập 3 trang 89 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán
Đáp ánarrow-down-icon

Xét tam giác ABC và tam giác ADB có:
^ABC=^ADB và ˆA chung
Do đó ABCADB (g.g).
Suy ra ABAD=ACAB, do đó ABAB=ADAC hay AB2=ADAC.

Thử thách nhỏ

90

1. Biết rằng ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại I, ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại I. Hãy chứng tỏ rằng nếu ^AIB=^AIB và ^AIC=^AIC thì ABCABC.
2. Với hai tam giác ABC và ABC trong phần Tranh luận, nếu thêm giải thiết các góc C và C' nhọn thì hai tam giác đó có đồng dạng không?

Đáp ánarrow-down-icon

1.

Thử thách nhỏ trang 90 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Do tổng các góc trong một tam giác bằng 180o nên:

^A+^B2=180^AIB=180^AIB=ˆA+ˆB2.

Suy ra ^A+^B=ˆA+ˆB. Do đó ^C=180^A^B=180ˆAˆB=ˆC. Tương tự ta có ˆB=^B. Vậy tam giác ABC và ABC có: ˆB=^B;ˆC=^C.

Do đó ABCABC (g.g).
2. Nếu góc C và góc C đều nhọn, lấy điểm M trên tia BC sao cho ABMABC.

Giả sử điểm C không trùng với M.
Khi đó ABMABC nên ACAM=ABAB=BCBM.
Mà ABAB=ACAC (gt) nên ACAM=ACAC, suy ra AC=AM hay AMC cân tại A.
+) Nếu M nằm giữa B và C thì
^AMB=180^AMC=180^ACM>90>^C (Vô lí). 
+) Nếu C nằm giữa B và M (như Hình 9.19). Khi đó
^ACB=180^ACM=180^AMB=180^C>90 (Vô lí). 

Vậy điểm C phải trùng với M và ABCABC.

Câu hỏi 9.5

90

Giả thiết nào dưới đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng?

a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia.

b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau.

c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia.

d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.

Đáp ánarrow-down-icon

Giả thiết a) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Giả thiết c) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Các giả thiết b) và d) không suy ra hai tam giác đồng dạng.

Câu hỏi 9.6

90

Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4 cm, 8 cm và 10 cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33 cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?

a) 6 cm, 12 cm, 15 cm.                         b) 8 cm, 16 cm, 20 cm.

c) 6 cm, 9 cm, 18 cm.                           d) 8 cm, 10 cm, 15 cm.

Đáp ánarrow-down-icon

Vì 6+12+15=33( cm) và 46=812=1015 nên bộ ba trong câu a) là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn yêu cầu. Các bộ ba còn lại hoặc không có tổng bằng 33 cm hoặc không có tỉ lệ tương ứng với (4:8:10) nên không thể là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn yêu cầu.

Câu hỏi 9.7

90

Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA′B′C′ ∽ ΔABC.

Chứng minh rầng AMAM=BNBN=CPCP

Đáp ánarrow-down-icon
Bài 9.7 trang 90 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Vì ABCABC nên: ABAB=BCBC=ACAC; (1)
và ^ABC=^ABC;^BCA=^BCA;^CAB=^CAB.
Hai tam giác A'B'M' và ABM có:
BMBM=BC2BC2=BCBC=BABA (theo (1)); ^ABM=^ABC=^ABC=^ABM (theo (2)). 

Do đó AMBAMB (c.g.c). Suy ra AMAM=ABAB
Tương tự ACPACP và CPCP=ACAC (4).
ABNABN và BNBN=ABAB(5).
Từ (1), (3), (4) và (5) suy ra AMAM=BNBN=CPCP.

Câu hỏi 9.8

90

Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 10 cm, AN = 8 cm. Chứng minh rằng ΔABC ∽ ΔANM

Đáp ánarrow-down-icon
Bài 9.8 trang 90 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Có AB=12 cm,AN=8 cm. Suy ra ANAB=812=23AC=15 cm,AM=10 cm. Suy ra AMAC=1015=23.

Suy ra ANAB=AMAC.
Xét hai tam giác ABC và tam giác ANM có:
ANAB=AMAC,ˆA chung.
Do đó ABCANM (c.g.c).

Câu hỏi 9.9

90

Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB,AC sao cho ^ABN=^ACM.
a) Chứng minh rằng ABNACM.
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB.IN=ICIM.

Đáp ánarrow-down-icon

Bài 9.9 trang 90 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

a) Xét tam giác ABN và tam giác ACM:

ˆA chung, ^ABN=^ACM (giả thiết)
Suy ra ABNACM (g.g).
b) Vì ABNACM (chứng minh trên) nên ^ANB=^AMC.

Lại có: ^ANB+^CNB=180;^AMC+^BMC=180 (kề bù), suy ra ^CNB=^BMC.

Xét tam giác IBM và tam giác ICN có:
^CNB=^BMC (cmt) và ^IBM=^ICN (do ^ABN=^ACM )
Suy ra IBMICN (g.g).
Suy ra IBIC=IMIN. Suy ra IB.IN=IC. IM.

Câu hỏi 9.10

90

Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3 m và 2 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25). Hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất.

Bài 9.10 trang 90 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Đáp ánarrow-down-icon

Bài 9.10 trang 90 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán

Kí hiệu các điểm như hình vẽ trên.

Ta có: AB, EF, CD đôi một song song vì cùng vuông góc với BC (do dựng thẳng đứng).

Do đó ΔCEF ∽ ΔCAB và ΔBEF ∽ ΔBDC.

Suy ra EFAB=CFCB và EFCD=BFBC.
Do đó: EFCD+EFAB=BFBC+CFCB=BF+CFBC=BCBC.
Suy ra EF(AB+CD)CDBA=1.
Vậy h=EF=CDABAB+CD=233+2=65=1,2 (m).