Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức

Trang 15

HĐ1

Cho hai đa thức:

\(A=5 x^2 y+5 x-3 \)

\(B=x y-4 x^2 y+5 x-1 \text {. }\)

HĐ1:

Thực hiện phép cộng hai đa thức A và B bằng cách tiến hành các bước sau:

-Lập tổng

\(A+B=\left(5 x^2 y+5 x-3\right)+\left(x y-4 x^2 y+5 x-1\right)\)

-Bỏ dấu ngoặc và thu gọn đa thức nhận được.

Gợi ý

Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp các hạng tử đồng dạng với nhau rồi thu gọn.

Đáp án

A+B

\(=\left(5 x^2 y+5 x-3\right)+\left(x y-4 x^2 y+5 x-1\right) \)

\(=\left(5 x^2 y-4 x^2 y\right)+x y+(5 x+5 x)+(-3-1)\)

\(=x^2 y+x y+10 x-4\)

HĐ2

Thực hiện phép trừ hai đa thức \(A\) và \(B\) bằng cách lập hiệu

\(A-B=\left(5 x^2 y+5 x-3\right)-\left(x y-4 x^2 y+5 x-1\right)\)

, bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn đa thức nhận được.

Gợi ý

Phá ngoặc, chú ý trước dấu ngoặc là dấu (-) nên khi phá ngoặc, ta đổi dấu tất cả các hạng tử trong dấu ngoặc.

Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp các hạng tử đồng dạng với nhau rồi thu gọn.

Đáp án

\( A-B=\left(5 x^2 y+5 x-3\right)-\left(x y-4 x^2 y+5 x-1\right)\)

\(=5 x^2 y+5 x-3-x y+4 x^2 y-5 x+1\)

\( =\left(5 x^2 y+4 x^2 y\right)-x y+(5 x+5 x)+(-3+1)\)

\(=9 x^2 y-x y+10 x-2\)

Luyện tập 1

Cho hai đa thức

\(G=x^2 y-3 x y-\)

\(H=3 x^2 y+x y-0,5 x+5\)

Hãy tính G+H và G-H

Gợi ý

Phá ngoặc, chú ý trước dấu ngoặc là dấu (-) nên khi phá ngoặc, ta đổi dấu tất cả các hạng tử trong dấu ngoặc.

Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp các hạng tử đồng dạng với nhau rồi thu gọn.

Đáp án

\( G+H=\left(x^2 y-3 x y-3\right)+\left(3 x^2 y+x y-0,5 x+5\right) \\\)

\(=x^2 y-3 x y-3+3 x^2 y+x y-0,5 x+5 \)

\(=\left(x^2 y+3 x^2 y\right)+(-3 x y+x y)-0,5 x+(-3+5)\)

\(=4 x^2 y-2 x y-0,5 x+2\)

\(G-H=\left(x^2 y-3 x y-3\right)-\left(3 x^2 y+x y-0,5 x+5\right)\)

\(=x^2 y-3 x y-3-3 x^2 y-x y+0,5 x-5\)

\(=\left(x^2 y-3 x^2 y\right)+(-3 x y-x y)+0,5 x+(-3-5)\)

\(=-2 x^2 y-4 x y+0,5 x-8\)

Luyện tập 2

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x=2 và y=-1.

\(\begin{aligned} & K=\left(x^2 y+2 x y^3\right)-\left(7,5 x^3 y^2-x^3\right) \\ & +\left(3 x y^3-x^2 y+7,5 x^3 y^2\right) \end{aligned}\)

Gợi ý

Phá ngoặc, chú ý trước dấu ngoặc là dấu (-) nên khi phá ngoặc, ta đổi dấu tất cả các hạng tử trong dấu ngoặc.

Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp các hạng tử đồng dạng với nhau rồi thu gọn.

Thay x=2 và y=-1 vào biểu thức rồi tính giá trị biểu thức.

Đáp án

\(\begin{aligned} & K=\left(x^2 y+2 x y^3\right)-\left(7,5 x^3 y^2-x^3\right) \\ & +\left(3 x y^3-x^2 y+7,5 x^3 y^2\right) \\ & =x^2 y+2 x y^3-7,5 x^3 y^2+x^3+3 x y^3-x^2 y+7,5 x^3 y^2 \\ & =\left(x^2 y-x^2 y\right)+\left(2 x y^3+3 x y^3\right)+\left(-7,5 x^3 y^2+7,5 x^3 y^2\right)+x^3 \\ & =5 x y^3+x^3 \\ \end{aligned}\)

Thay x=2, y=-1 vào K ta được \(K=5.2.(-1)^3+2^3=-10+8=-2\)

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu, hãy trình bày ý kiến của em.

Trong buổi sinh hoạt câu lạc bộ Toán học của lớp, hai bạn tính giá trị của đa thức \(P=2 x^2 y-x y^2+22\) và \(Q=x y^2-2 x^2 y+23\) tại những giá trị cho trước của x và y. Kết quả được ghi lại như bảng bên.

Ban giám khảo cho biết có một cột cho kết quả sai.

Theo em, làm thế nào để có thể nhanh chóng phát hiện cột có kết quả sai ấy?

Gợi ý

Phát hiện tính chất của tổng P+Q.

Đáp án

Ta có:

\(\begin{aligned} & P+Q=\left(2 x^2 y-x y^2+22\right)+\left(x y^2-2 x^2 y+23\right) \\ & =2 x^2 y-x y^2+22+x y^2-2 x^2 y+23 \\ & =\left(2 x^2 y-2 x^2 y\right)+\left(-x y^2+x y^2\right)+(22+23) \\ & =45 \end{aligned}\)

Quan sát cột có tổng P+Q khác 45 thì cột đó có kết quả sai.

Như vậy cột 3 có kết quả sai.

Bài 1.14

Tính tổng và hiệu của hai đa thức

\(P=x^2 y+x^3-x y^2+3\)

\(Q=x^3+x y^2-x y-6\)

Gợi ý

Muốn cộng (hay trừ) hai đa thức, ta nối hai đa thức đã cho bởi dấu (+) (hoặc dấu (-)) rồi bỏ dấu ngoặc (nếu có) và thu gọn đa thức nhận được.

Chú ý trước dấu ngoặc là dấu (-) thì khi phá ngoặc, ta đổi dấu tất cả các hạng tử trong dấu ngoặc.

Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp các hạng tử đồng dạng với nhau rồi thu gọn.

Đáp án

\( P+Q=x^2 y+x^3-x y^2+3+x^3+x y^2-x y-6\)

\(=\left(x^3+x^3\right)+x^2 y+\left(-x y^2+x y^2\right)-x y+(3-6) \)

\(=2 x^3+x^2 y-x y-3\)

\(P-Q=x^2 y+x^3-x y^2+3-\left(x^3+x y^2-x y-6\right)\)

\(=x^2 y+x^3-x y^2+3-x^3-x y^2+x y+6\)

\(=\left(x^3-x^3\right)+x^2 y+\left(-x y^2-x y^2\right)+x y+(3+6)\)

\(=-2 x y^2+x^2 y+x y+9\)

Bài 1.15

Rút gọn biểu thức:

a) \((x-y)+(y-z)+(z-x)\)

b) \((2 x-3 y)+(2 y-3 z)+(2 z-3 x)\)

Gợi ý

Muốn cộng hai đa thức, ta nối hai đa thức đã cho bởi dấu (+) rồi bỏ dấu ngoặc (nếu có) và thu gọn đa thức nhận được.

Đáp án

a) \( (x-y)+(y-z)+(z-x) \)

\(=x-y+y-z+z-x\)

\(=(x-x)+(-y+y)+(-z+z)\)

\(=0\)

b) \( (2 x-3 y)+(2 y-3 z)+(2 z-3 x) \)

\(=2 x-3 y+2 y-3 z+2 z-3 x\)

\(=(2 x-3 x)+(-3 y+2 y)+(-3 z+2 z)\)

\(=-x-y-z\)

Bài 1.16

Tìm đa thức M biết

\(M-5 x^2+x y z=x y+2 x^2-3 x y z+5\)

Gợi ý

Chuyển vế, tìm M.

Đáp án

\(M=x y+2 x^2-3 x y z+5+5 x^2-x y z\)

\(=(-3 x y z-x y z)+\left(2 x^2+5 x^2\right)+x y+5\)

\(=-4 x y z+7 x^2+x y+5\)