Bài 29: Hệ số góc của đường thẳng

+ Xét (d): \(y=2 x+1\)
Cho \(\mathrm{y}=0\) thì \(\mathrm{x}=\frac{-1}{2}\), ta được giao điếm của đồ thị với trục \(\mathrm{Ox}\) là \(A\left(\frac{-1}{2} ; 0\right)\).
Cho \(x=0\) thì \(y=1\), ta được giao điểm của đồ thị với trục Oy là \(\mathrm{B}(0 ; 1)\).
Đường thẩng (d) chính là đường thẳng AB.
+ Xét (d'): \(y=-2 x+1\)
Cho \(\mathrm{y}=0\) thì \(\mathrm{x}=\frac{1}{2}\), ta được giao điếm của đồ thị với trục \(\mathrm{Ox}\) là \(C\left(\frac{1}{2} ; 0\right)\).
Cho \(x=0\) thì \(y=1\), ta được giao điếm của đồ thị với trục Oy là \(\mathrm{B}(0 ; 1)\).
Đường thẳng (d') chính là đường thẳng \(\mathrm{BC}\).
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ \(\mathrm{Oxy}\), ta vẽ được hai đường thẳng như sau:

a) Góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox nhỏ hơn 90°.

b) Góc tạo bởi đường thẳng (d') và trục Ox lớn hơn 90°.

Khi hệ số góc a dương thì góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc nhọn.

Khi hệ số góc a âm thì góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc tù.

Đường thằng \(\mathrm{y}=3 \mathrm{x}-1\) có hệ số góc là \(\mathrm{a}=3\).
Đường thẳng \(\mathrm{y}=2\) - x có hệ số góc là \(\mathrm{a}=-1\).
Ta có: \(y=\frac{1}{2}(x-1)=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}\) nên đường thắng \(y=\frac{1}{2}(x-1)\) có hệ số góc là \(a=\frac{1}{2}\).

Gọi y = ax + b là hàm số bậc nhất cần tìm (a ≠ 0).

Vì hàm số có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là 3 nên a = 3. Khi đó y = 3x + b.

Lại có đồ thị này cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1 hay giao điểm giữa đồ thị và trục tung có tọa độ (0; – 1) nên thay x = 0 và y = – 1 vào y = 3x + b, ta được:

– 1 = 3 . 0 + b, suy ra b = – 1.

Vậy hàm số cần tìm là y = 3x – 1.

Ta có \(=y=\frac{2 x+1}{2}=\frac{2 x}{2}+\frac{1}{2}=x+\frac{1}{2}\)
Hệ số góc của đường thầng bằng 1, vậy Vuông nói đúng.

Đường thẳng \(\mathrm{y}=2 x\) đi qua hai điểm \((0 ; 0)\) và \((1 ; 2)\).
Đường thẳng \(\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+1\) đi qua hai điểm \(\left(\frac{-1}{2} ; 0\right)\) và \((0 ; 1)\).

Quan sát hình vẽ ta thấy hai đường thẳng này song song với nhau.

Hệ số góc của đường thẳng y = 2x – 1 là 2.

Hệ số góc của đường thẳng y = x – 2 là 1.

Vì 2 ≠ 1 nên hai đường thẳng này không song song và cũng không trùng nhau.

Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = 2 + 2x song song với nhau vì a = a’ = 2 và b ≠ b’ (do 1 ≠ 2).

Hai đường thẳng y = 2x + 1 và y = – 1 + 2x song song với nhau vì a = a’ = 2 và b ≠ b’ (do 1 ≠ – 1).

Hai đường thẳng y = 2 + 2x và y = – 1 + 2x song song với nhau vì a = a’ = 2 và b ≠ b’ (do 2 ≠ – 1).

Đường thẳng y = 1 – 2x cắt đường thẳng y = 2x + 1 vì – 2 ≠ 2.

Đường thẳng y = 1 – 2x cắt đường thẳng y = 2x vì – 2 ≠ 2.

Đường thẳng y = 1 – 2x cắt đường thẳng y = 2 + 2x vì – 2 ≠ 2.

Để hàm số y = 2mx + 1 là hàm số bậc nhất thì 2m ≠ 0, tức là m ≠ 0.

Để hàm số y = (m – 1)x + 2 là hàm số bậc nhất thì m – 1 ≠ 0, tức là m ≠ 1.

Vậy ta có điều kiện là m ≠ 0 và m ≠ 1.

a) Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song khi a = a′ và b ≠ b', tức là 2m = m – 1 và 1 ≠ 2 (luôn đúng).

Ta có 2m = m – 1, suy ra m = – 1 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy m = – 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi a ≠ a′, tức là

2m ≠ m – 1 hay m ≠ – 1.

Kết hợp với điều kiện, ta được các giá trị m cần tìm là m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ – 1.

a) Hai đường thẳng phân biệt có cùng hệ số góc tức là chúng song song với nhau nên không có cùng giao điểm với trục Ox.

b) Tương tự, hai đường thẳng này cũng không có cùng giao điểm với trục Oy.

Muốn biết hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ song song hay cắt nhau ta xét các hệ số a; a’; b; b’.

+ Nếu a = a’; b ≠ b’ thì hai đường thẳng song song với nhau.

+ Nếu a ≠ a’ thì hai đường thẳng cắt nhau.

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0).

Vì đồ thị hàm số là đường thẳng có hệ số góc bằng 3 nên a = 3 hay y = 3x + b.

Hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm (1; –2) , thay x = 1, y = –2 vào công thức hàm số, ta được:

– 2 = 3 . 1 + b, tức là b = – 5.

Vậy ta có hàm số là y = 3x – 5.

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0).

Vì hàm số có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là –2 nên a = – 2 hay y = –2x + b.

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3, có nghĩa là đường thẳng đi qua điểm (3; 0).

Thay x = 3; y = 0 vào công thức hàm số ta có: 0 = –2 . 3 + b, hay b = 6.

Vậy ta có hàm số y = –2x + 6.

+) Các cặp đường thẳng song song là: 

y = –x + 1 và y = –x (vì chúng có cùng hệ số góc là – 1); 

y = –2x + 1 và y = –2x + 2 (vì chúng có cùng hệ số góc là – 2).

+) Các cặp đường thẳng cắt nhau là: 

y = –x + 1 và y = –2x + 2; 

y = –x và y = –2x + 1; 

y = –x + 1 và y = –2x + 1; 

y = –x và y = –2x + 2.

Hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{mx}-5\) là hàm số bậc nhất khi \(\mathrm{m} \neq 0\).
Hàm số \(y=(2 m+1) x+3\) là hàm số bậc nhất khi \(2 m+1 \neq 0\) hay \(m \neq-\frac{1}{2}\).
Vậy ta có điều kiện là \(m \neq 0\) và \(m \neq-\frac{1}{2}\)

a) Hai đường thẳng đã cho song song khi \(m=2 m+1\), suy ra \(m=-1\). Giá trị này thóa mãn điều kiện \(m \neq 0\) và \(m \neq-\frac{1}{2}\). Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m=-1\).

b) Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi \(m \neq 2 m+1\), suy ra \(m \neq-1\).

Kết hợp với điều kiện, ta được \(m \neq 0, m \neq-\frac{1}{2}\) và \(m \neq-1\).

Gọi y = ax + b là hàm số cần tìm (a ≠ 0).

Vì đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = –3x + 1 nên a = –3 và b ≠ 1.

Suy ra y = – 3x + 1 (b ≠ 1).

Lại có, đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua điểm (2; 6) nên ta có: 

6 = –3 . 2 + b, suy ra b = 12 (thỏa mãn điều kiện b ≠ 1).

Vậy hàm số cần tìm là y = –3x + 12.

a)

* Xét đường thẳng y = x

Cho x = 1 suy ra y = 1 nên điểm (1; 1) thuộc đường thẳng y = x.

Đường thẳng y = x đi qua 2 điểm O(0; 0) và (1; 1).

* Xét đường thẳng y = –x + 2

Cho y = 0 thì x = 2 nên điểm (2; 0) thuộc đường thẳng y = – x + 2.

Cho x = 0 thì y = 2 nên điểm (0; 2 ) thuộc đường thẳng y = –x + 2.

Đường thẳng y = – x + 2 đi qua hai điểm (2; 0) và (0; 2).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là:

x = –x + 2

Giải phương trình này ta được x = 1. Từ đó suy ra y = 1.

Vậy tọa độ giao điểm A(1; 1).

c) Giao điểm của đường thẳng y = –x + 2 và trục Ox là B(2; 0).

Gọi C là giao điểm của đường thẳng y = –x + 2 và trục Oy. Suy ra C(0; 2).

Dễ thấy tam giác OBC vuông cân tại O (vì OB = OC = 2).

Xét hai tam giác OAB và OAC có:

Cạnh OA chung;

OB = OC;

\(\widehat{O B A}=\widehat{O C A}=45^{\circ}\)

Do đó ΔOAB = ΔOAC, từ đó suy ra AB = AC.

Điều này chứng tỏ A là trung điểm của BC, mà ΔOBC cân tại O nên OA ⊥ AB, tức là ΔOAB vuông tại A.

d) Đường thẳng y = x có hệ số góc bằng 1.

Đường thẳng y = – x + 1 có hệ số góc bằng –1.

Tích của hai hệ số góc của hai đường thẳng đã cho bằng –1.

Từ câu c), ta có nhận xét:

Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng –1.