15
Hãy rút gọn biểu thức: \(P=\frac{x}{x+1}-\left[\left(\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x+1}\right)-\frac{1}{x-1}\right]\)
Vuông nói: Không cần tính toán, em thấy ngay kết quả là \(P=0\).
Tròn: Làm thế nào mà vuông thấy ngay được kết quả thế nhỉ?
Vuông đã nhìn thấy các dấu đứng trước các phân thức, hai phân thức giống nhau có dấu trái nhau khi cộng lại sẽ bằng 0.
15
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng: \(\frac{2 x+y}{x-y}+\frac{-x+3 y}{x-y}\).
Cộng các tử thức của hai phân thức đã cho.
Ta có: \(2 x+y+(-x+3 y)=x+4 y\).
15
Viết phân thức có tử thức là tổng các tử thức và mẫu thức chung ta được kết quả của phép cộng đã cho.
\(\frac{2 x+y}{x-y}+\frac{-x+3 y}{x-y}=\frac{x+4 y}{x-y}\)
16
Tính các tổng sau:
a) \(\frac{3 x+1}{x y}+\frac{2 x-1}{x y}\);
b) \(\frac{3 x}{x^2+1}+\frac{-3 x+1}{x^2+1}\).
a) \(\frac{3 x+1}{x y}+\frac{2 x-1}{x y}=\frac{3 x+1+2 x-1}{x y}=\frac{5 x}{x y}=\frac{5}{y}\) ；
b) \(\frac{3 x}{x^2+1}+\frac{-3 x+1}{x^2+1}=\frac{3 x+(-3 x+1)}{x^2+1}=\frac{3 x-3 x+1}{x^2+1}=\frac{1}{x^2+1}\).
16
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng \(\frac{1}{x}+\frac{-1}{y}\).
Quy đồng mẫu hai phân thức đã cho.
\(\frac{1}{x}=\frac{y}{x y} ; \frac{-1}{y}=\frac{-x}{x y}\)
16
Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức nhận được trong HĐ3 ta được kết quả của phép cộng \(\frac{1}{x}+\frac{-1}{y}\).
\(\frac{1}{x}+\frac{-1}{y}=\frac{y}{x y}+\frac{-x}{x y}=\frac{y+(-x)}{x y}=\frac{y-x}{x y} .\)
16
Tính tổng: \(\frac{5}{2 x^2(6 x+y)}+\frac{3}{5 x y(6 x+y)}\)
Ta có: \(\frac{5}{2 x^2(6 x+y)}+\frac{3}{5 x y(6 x+y)}\)
\(=\frac{25 y}{10 x^2 y(6 x+y)}+\frac{6 x}{10 x^2 y(6 x+y)}=\frac{25 y+6 x}{10 x^2 y(6 x+y)} .\)
16
Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính \(\frac{x-1}{x+1}-\frac{2 x+3}{x+1}\).
\(\frac{x-1}{x+1}-\frac{2 x+3}{x+1}=\frac{x-1-(2 x+3)}{x+1}=\frac{x-1-2 x-3}{x+1}=\frac{-x-4}{x+1}\)
16
Quy đồng mẫu của hai phân thức \(\frac{1}{x+1}\) và \(\frac{1}{x}\); trừ các tử thức của hai phân thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức chung để tính \(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\).
Quy đồng: \(\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x(x+1)} ; \frac{1}{x}=\frac{x+1}{x(x+1)}\).
\(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=\frac{x}{x(x+1)}-\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{x-x-1}{x(x+1)}=\frac{-1}{x(x+1)} .\)
17
Thực hiện phép tính sau:
a) \(\frac{3-2 x}{x-1}-\frac{2+5 x}{x-1}\);
b) \(\frac{1}{4 x^2 y}-\frac{1}{6 x y^2}\).
a) \(\frac{3-2 x}{x-1}-\frac{2+5 x}{x-1}=\frac{3-2 x-(2+5 x)}{x-1}=\frac{3-2 x-2-5 x}{x-1}=\frac{1-7 x}{x-1}\).
b) \(\frac{1}{4 x^2 y}-\frac{1}{6 x y^2}=\frac{3 y}{12 x^2 y^2}-\frac{2 x}{12 x^2 y^2}=\frac{3 y-2 x}{12 x^2 y^2}\).
18
\(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\).
\(\begin{aligned} & P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \\ & =\frac{1}{x}+\frac{-1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{-1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1-1}{x}+\frac{1-1}{y}+\frac{1}{z}=0+0+\frac{1}{z}=\frac{1}{z} . \end{aligned}\)
18
Em hãy giải thích cách làm của Vuông trong tình huống mở đầu.
\(\begin{aligned} & P=\frac{x}{x+1}-\left[\left(\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x+1}\right)-\frac{1}{x-1}\right]=\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x-1} \\ & =\left(\frac{x}{x+1}+\frac{-x}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x-1}+\frac{-1}{x-1}\right)=\frac{x-x}{x+1}+\frac{1-1}{x+1}=0+0=0 \end{aligned}\)
19
Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng 20 km, xe chạy trong thành phố với vận tốc x (km/h) (x > 0). Trên 50 km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm 55 km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm 15 phút thì về đến quê.
a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc.
b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê.
a) Thời gian xe chạy trong thành phố là: \(\frac{20}{x}\) (giờ).
Vận tốc của xe trên đường cao tốc là x + 55 (km/h).
Thời gian xe chạy trên đường cao tốc là: \(\frac{50}{x+55}\) (giờ).
b) 15 phút \(=\frac{1}{4}\) giờ
Tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê là:
\(\frac{20}{x}+\frac{50}{x+55}+\frac{1}{4}=\frac{4.20(x+55)+50.4 . x+x(x+55)}{4 x(x+55)}=\frac{x^2+335 x+4400}{4 x(x+55)}\) (giờ)
19
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{x^2-3 x+1}{2 x^2}+\frac{5 x-1-x^2}{2 x^2}\);
b) \(\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}\) ；
c) \(\frac{x}{2 x-6}+\frac{9}{2 x(3-x)}\).
\(\begin{aligned}& \text { a) } \frac{x^2-3 x+1}{2 x^2}+\frac{5 x-1-x^2}{2 x^2} \\& =\frac{x^2-3 x+1+5 x-1-x^2}{2 x^2}=\frac{2 x}{2 x^2}=\frac{1}{x} .\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}& \text { b) } \frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}=\frac{y(x+y)+x(x-y)}{(x-y)(x+y)} \\& =\frac{x y+y^2+x^2-x y}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)} .\end{aligned}\)
c) \(\frac{x}{2 x-6}+\frac{9}{2 x(3-x)}=\frac{x}{2(x-3)}+\frac{-9}{2 x(x-3)}=\frac{x^2-9}{2 x(x-3)}\)
\(=\frac{(x-3)(x+3)}{2 x(x-3)}=\frac{x+3}{2 x} \text {. }\)
19
Thực hiện các phép tính sau:
а) \(\frac{5-3 x}{x+1}-\frac{-2+5 x}{x+1}\);
b) \(\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}\);
c) \(\frac{3}{x+1}-\frac{2+3 x}{x^3+1}\).
\(\begin{aligned} &\begin{aligned} & \text { a) } \frac{5-3 x}{x+1}-\frac{-2+5 x}{x+1}=\frac{5-3 x-(-2+5 x)}{x+1} \\ & =\frac{5-3 x+2-5 x}{x+1}=\frac{7-8 x}{x+1} . \end{aligned}\\ &\begin{aligned} & \text { b) } \frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)(x+y)} \\ & =\frac{x^2+x y-x y+y^2}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{(x-y)(x+y)} . \end{aligned}\\ &\begin{aligned} \text { c) } & \frac{3}{x+1}-\frac{2+3 x}{x^3+1} \\ = & \frac{3}{x+1}-\frac{2+3 x}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)} \\ = & \frac{3\left(x^2-x+1\right)-3 x-2}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)} \\ = & \frac{3 x^2-3 x+3-3 x-2}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)} \\ = & \frac{3 x^2-6 x+1}{(x+1)\left(x^2-x+1\right)} . \end{aligned} \end{aligned}\)
19
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+2}\) ；
b) \(\frac{2 x-1}{x}+\frac{1-x}{2 x+1}+\frac{3}{x^2-9}+\frac{1-2 x}{x}+\frac{x-1}{2 x+1}-\frac{3}{x+3}\).
\(\begin{aligned} & \text { a) } \frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+2} \\ & =\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1}\right)+\left(\frac{3}{x+2}-\frac{3}{x+2}\right) \\ & =0+\frac{2(x-1)-2(x+1)}{(x-1)(x+1)}+0=\frac{-4}{(x+1)(x-1)}=\frac{-4}{x^2-1} . \\ & \text { b) } \frac{2 x-1}{x}+\frac{1-x}{2 x+1}+\frac{3}{x^2-9}+\frac{1-2 x}{x}+\frac{x-1}{2 x+1}-\frac{3}{x+3} \\ & =\left(\frac{2 x-1}{x}+\frac{1-2 x}{x}\right)+\left(\frac{1-x}{2 x+1}+\frac{x-1}{2 x+1}\right)+\left(\frac{3}{x^2-9}-\frac{3}{x+3}\right) \\ & =\frac{2 x-1+1-2 x}{x}+\frac{1-x+x-1}{2 x+1}+\frac{3-3(x-3)}{(x-3)(x+3)} \\ & =0+0+\frac{-3 x+12}{(x-3)(x+3)}=\frac{-3 x+12}{x^2-9} . \end{aligned}\)
19
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{x^2+4 x+4}{x^2-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5 x-10}\);
b) \(\frac{x}{x^2+1}-\left(\frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4}\right)+\left[\frac{3}{x+6}-\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{x-2}{x+4}\right)\right]\).
\(\begin{aligned} & \text { a) } \frac{x^2+4 x+4}{x^2-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5 x-10} \\ & =\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}+\frac{-x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)} \\ & =\frac{x+2}{x-2}+\frac{-x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)} \\ & =\frac{5(x+2)-5 x+4-x}{5(x-2)}=\frac{14-x}{5(x-2)} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} & \text { b) } \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^2+1}-\left(\frac{3}{\mathrm{x}+6}+\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+4}\right)+\left[\frac{3}{\mathrm{x}+6}-\left(\frac{1}{\mathrm{x}^2+1}-\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}+4}\right)\right] \\ & =\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{x-2}{x+4}+\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{x-2}{x+4} \\ & =\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\right)+\left(\frac{3}{x+6}-\frac{3}{x+6}\right)+\left(\frac{x-2}{x+4}-\frac{x-2}{x+4}\right) \\ & =\frac{x-1}{x^2+1}+0+0=\frac{x-1}{x^2+1} . \end{aligned}\)
19
Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\frac{x-y}{x y}+\frac{y-z}{y z}+\frac{z-x}{z x}\);
b) \(\frac{x}{(x-y)^2}+\frac{y}{y^2-x^2}\).
\(\begin{aligned}& \text { a) } \frac{x-y}{x y}+\frac{y-z}{y z}+\frac{z-x}{z x} \\& =\frac{z(x-y)+x(y-z)+y(z-x)}{x y z} \\& =\frac{x z-z y+x y-x z+y z-x y}{x y z}=0 .\end{aligned}\)
b) \(\frac{x}{(x-y)^2}+\frac{y}{y^2-x^2}\)
\(\begin{aligned}& =\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} \\& =\frac{x^2+x y-x y+y^2}{(x-y)^2(x+y)}=\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} .\end{aligned}\)
19
Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15 km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 10 km/h và vận tốc của dòng nước là x (km/h).
a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo x thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy.
b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là 2 km/h.
a) Vận tốc khi xuôi dòng của tàu là \(10+x(\mathrm{~km} / \mathrm{h})\).
Vận tốc khi ngược dòng của tàu là \(10-x(k m / h)\).
Thời gian khi tàu xuôi dòng là \(\frac{15}{10+x}\) (giờ).
Thời gian khi tàu ngược dòng là \(\frac{15}{10-x}\) (giờ).
Tổng thời gian tàu chạy là
\(\frac{15}{10+x}+\frac{15}{10-x}=\frac{15(10-x)+15(10+x)}{(10-x)(10+x)}=\frac{300}{(10-x)(10+x)}\) (giờ)
b) Khi vận tốc dòng nước là \(2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), tức là \(x=2\) ta có:
Tổng thời gian tàu chạy là: \(\frac{300}{(10-2)(10+2)}=\frac{300}{8.12}=\frac{25}{8}=3 \frac{1}{8}\) (giờ).
