Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Sau bài học này ta trả lời được câu hỏi trên như sau:
Ta có \(\frac{x-y}{x^3-y^3}=\frac{x-y}{(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)}=\frac{1}{x^2+x y+y^2}\).
Vậy có phân thức \(\frac{1}{x^2+x y+y^2}\) thỏa mãn bài toán.

Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{x+y}{x-y}\) với \(2 x\) ta được: \(\frac{2 x(x+y)}{2 x(x-y)}=\frac{2 x^2+2 x y}{2 x^2-2 x y}\).
Ta có \((x+y)\left(2 x^2-2 x y\right)=2 x^3-2 x^2 y+2 x^2 y-2 x y^2=2 x^3-2 x y^2\);
\((x-y)\left(2 x^2+2 x y\right)=2 x^3+2 x^2 y-2 x^2 y-2 x y^2=2 x^3-2 x y^2 .\)

Do đó, \((\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(2 \mathrm{x}^2-2 \mathrm{xy}\right)=(\mathrm{x}-\mathrm{y})\left(2 \mathrm{x}^2+2 \mathrm{xy}\right)\) nên \(\frac{x+y}{x-y}=\frac{2 x^2+2 x y}{2 x^2-2 x y}\).

Phân thức mới là: \(\frac{x+1}{x^2+x+1}\).
Ta thấy \(\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{x+1}{x^2+x+1}\).

Vì:
\((x-1)(x+1)\left(x^2+x+1\right)=(x-1)\left(x^2+x+1\right)(x+1) .\)

Ta thấy tử và mẫu thức của phân thức \(\frac{30 x y^2(x-y)}{45 x y(x-y)^2}\) có nhân tử chung là \(15 x y(x-y)\).
Chia tử cho nhân tử chung: \(30 x y^2(x-y):[15 x y(x-y)]=2 y\)
Chia mẫu cho nhân tử chung: \(45 x y(x-y)^2:[15 x y(x-y)]=3(x-y)\).
Vậy \(\frac{30 x y^2(x-y)}{45 x y(x-y)^2}=\frac{2 y}{3(x-y)}\) nên khẳng định đã cho là đúng.

Nhân cả tử và mẫu của \(\frac{-x}{1-x}\) với -1 ta được: \(\frac{-x \cdot(-1)}{(1-x)(-1)}=\frac{x}{x-1}\).
Vậy \(\frac{-x}{1-x}=\frac{x}{x-1}\).

Ta có
\(2 x^2+2 x=2 x(x+1)\)
\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)

Nhân tử chung của tử và mẫu là: \(x+1\).

Ta có: \(\frac{2 x^2+2 x}{x^2-1}=\frac{\left(2 x^2+2 x\right):(x+1)}{\left(x^2-1\right):(x+1)}=\frac{2 x}{x-1}\).

Ta có: \(\frac{x-y}{x^3-y^3}=\frac{(x-y) \cdot 1}{(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)}=\frac{1}{x^2+x y+y^2}\) (Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung \(\mathrm{x}-\mathrm{y})\).

Phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử và rút gọn nhân tử chung ta có:

\(\frac{x^2+2 x}{3 x^3+2 x}=\frac{x(x+2)}{x\left(3 x^2+2\right)}=\frac{x+2}{3 x^2+2} \)

Vậy bạn Tròn đã làm sai.

\(\frac{-a x^2-a x}{x^2-1}=\frac{-a x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{-a x}{x-1} \text {. }\)

Vậy để hai phân thức bằng nhau thì \(-\mathrm{ax}=3 \mathrm{x}\) suy ra \(\mathrm{a}=-3\).

\(\begin{aligned}  & 2 x^2+2 x=2 x(x+1) \\  & 3 x^2-6 x=3 x(x-2)  \end{aligned}\)

Mẫu thức chung của \(\frac{1}{2 x^2+2 x}\) và \(\frac{1}{3 x^2-6 x}\) là \(6 x(x+1)(x-2)\).

Ta có: Nhân tử phụ của \(\frac{1}{2 x^2+2 x}\) là: \(6 x(x+1)(x-2): 2 x(x+1)=3(x-2)\)
Nhân tử phụ của \(\frac{1}{3 x^2-6 x}\) là: \(6 x(x+1)(x-2): 3 x(x-2)=2(x+1)\).

\(\begin{aligned}  & \frac{1}{2 x^2+2 x}=\frac{3(x-2)}{6 x(x+1)(x-2)} \\  & \frac{1}{3 x^2-6 x}=\frac{2(x+1)}{6 x(x+1)(x-2)}  \end{aligned}\)

Ta có: \(3 x^2-3=3\left(x^2-1\right)=3(x+1)(x-1)\)
\(x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)\)

MTC: \(3(x+1)(x-1)\left(x^2+x+1\right)\).
Khi đó:
\(\begin{aligned}& \frac{1}{3 x^2-3}=\frac{x^2+x+1}{3(x+1)(x-1)\left(x^2+x+1\right)} \\& \frac{1}{x^3-1}=\frac{3(x+1)}{3(x+1)(x-1)\left(x^2+x+1\right)}\end{aligned}\)

Tròn hợp lí hơn, đơn giản hơn vì: \(\frac{x}{1-x}=\frac{-x}{x-1}\).

а) \(\frac{(x-2)^3}{x^2-2 x}=\frac{(x-2)^2(x-2)}{x(x-2)}=\frac{(x-2)^2(x-2):(x-2)}{x(x-2):(x-2)}=\frac{(x-2)^2}{x}\);

b) \(\frac{1-x}{-5 x+1}=\frac{-(x-1)}{-(5 x-1)}=\frac{x-1}{5 x-1}\).

Ta có: \(\frac{y-x}{4-x}=\frac{-(x-y)}{-(x-4)}=\frac{x-y}{x-4}\). Vậy đa thức cần tìm là \(\mathrm{x}-\mathrm{y}\).

a) \(\frac{5 x+10}{25 x^2+50}=\frac{5(x+2)}{25\left(x^2+2\right)}=\frac{x+2}{5\left(x^2+2\right)}\);
b) \(\frac{45 x(3-x)}{15 x(x-3)^3}=\frac{-45 x(x-3)}{15 x(x-3)^3}=\frac{-3}{(x-3)^2}\);
c) \(\frac{\left(x^2-1\right)^2}{(x+1)\left(x^3+1\right)}=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-1\right)}{(x+1)(x+1)\left(x^2-x+1\right)}\)
\(=\frac{(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{(x-1)^2}{x^2-x+1} .\)

a) \(P=\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x-1}\). Vậy \(Q=\frac{1}{x-1}\).

b) \(P(11)=\frac{11+1}{11^2-1}=\frac{12}{120}=\frac{1}{10} ; Q(11)=\frac{1}{11-1}=\frac{1}{10}\). Ta thấy hai kết quả cùng bằng \(\frac{1}{10}\).

Ta có \(\frac{a x(x-1)}{(1-x)(x+1)}=\frac{-a x(1-x)}{(1-x)(x+1)}=\frac{-a x}{x+1}\) nên để hai phân thức \(\frac{5 x}{x+1}\) và \(\frac{a x(x-1)}{(1-x)(x+1)}\) bằng nhau thì \(5 \mathrm{x}=-\mathrm{ax}\) hay \(\mathrm{a}=-5\).

a) MTC: \(2(x-2)\left(x^2+2 x+4\right)\)
\(\begin{aligned}& \frac{1}{x^3-8}=\frac{2}{2(x-2)\left(x^2+2 x+4\right)} ; \\& \frac{3}{4-2 x}=\frac{-3}{2(x-2)}=\frac{-3\left(x^2+2 x+4\right)}{2(x-2)\left(x^2+2 x+4\right)} .\end{aligned}\)

b) MTC: \((x-1)(x+1)^2\)
\(\begin{aligned}& \frac{x}{x^2-1}=\frac{x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)^2} \\& \frac{1}{x^2+2 x+1}=\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)^2} .\end{aligned}\)

a) MTC: \((x+2)(x-2)^2\)
\(\begin{aligned}& \frac{1}{x+2}=\frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)^2} \\& \frac{x+1}{x^2-4 x+4}=\frac{x+1}{(x-2)^2}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)^2} \\& \frac{5}{2-x}=\frac{-5}{x-2}=\frac{-5(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)^2} .\end{aligned}\)

b) MTC: \(3(x+y)(x-y)^2\)
\(\begin{aligned}& \frac{1}{3 x+3 y}=\frac{1}{3(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{3(x+y)(x-y)^2} \\& \frac{2 x}{x^2-y^2}=\frac{2 x}{(x+y)(x-y)}=\frac{2 x \cdot 3(x-y)}{3(x+y)(x-y)^2} ; \\& \frac{x^2-x y+y^2}{x^2-2 x y+y^2}=\frac{x^2-x y+y^2}{(x-y)^2}=\frac{3(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)}{3(x+y)(x-y)^2} .\end{aligned}\)

a) Rút gọn
\(\begin{aligned}& \frac{9 x^2+3 x+1}{27 x^3-1}=\frac{9 x^2+3 x+1}{(3 x)^3-1^3}=\frac{9 x^2+3 x+1}{(3 x-1)\left(9 x^2+3 x+1\right)}=\frac{1}{3 x-1} ; \\& \frac{x^2-4 x}{16-x^2}=\frac{x(x-4)}{(4+x)(4-x)}=\frac{-x(4-x)}{(4+x)(4-x)}=\frac{-x}{x+4} .\end{aligned}\)

b) Quy đồng \(\frac{1}{3 x-1}\) và \(\frac{-x}{x+4}\).
\(\begin{aligned}& \frac{1}{3 x-1}=\frac{x+4}{(3 x-1)(x+4)} \\& \frac{-x}{x+4}=\frac{-x(3 x-1)}{(3 x-1)(x+4)}\end{aligned}\)