Bài 2: Đa thức

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng đó gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Một ví dụ về đa thức một biến: \( 2  x^3 -x^2   + 1\)

Học sinh viết ra hai đơn thức theo yêu cầu bài toán rồi trao đổi với bạn bên cạnh.

Sau đó cùng bạn sửa lại (nếu đơn thức đó viết chưa đúng).

Tùy theo các đơn thức mà em và bạn ngồi cạnh viết, ta có thể tìm được tổng khác nhau.
Chẳng hạn, bốn đơn thức được viết là: \(4 x^2 y ;-\dfrac{1}{2} ; x ; 2 x^2 y\).
Tính tổng bốn đơn thức đó ta được:

\(4 x^2 y+\left(-\dfrac{1}{2}\right)+x+2 x^2 y\)

\(=\left(4 x^2 y+2 x^2 y\right)+x-\dfrac{1}{2} \)

\( =6 x^2 y+x-\dfrac{1}{2}\)

Các biểu thức là đa thức gồm: \(3 x y^2-1 ; \sqrt{2} x+\sqrt{3} y\).
- Đa thức \(3 x y^2-1\) có hai hạng tử \(3 x y^2\) và - 1 .
- Đa thức \(\sqrt{2} x+\sqrt{3} y\) có hai hạng tử \(\sqrt{2} x\) và \(\sqrt{3} y\).

a) • Giá tiền 8 quyển vở là: 8x (đồng);

Giá tiền 7 chiếc bút là: 7y (đồng)

Giá tiền 8 quyển vở và 7 chiếc bút là: 8x + 7y (đồng).

• Mỗi xấp vở có 10 quyển nên 3 xấp vở có: 3 . 10 = 30 (quyển vở)

Giá tiền của 3 xấp vở là: 30x (đồng);

Mỗi hộp bút có 12 chiếc nên 2 hộp bút có: 12 . 2 = 24 (chiếc bút)

Giá tiền của 2 hộp bút là: 24y (đồng)

Giá tiền mua 3 xấp vở và 2 hộp bút là: 30x + 24y (đồng).

b) Hai đa thức tìm được ở câu a lần lượt là: 8x + 7y; 30x + 24y đều là các đa thức.

Đa thức nêu trong tình huổng mở đầu là  \(x^2+y^2+\frac{1}{2} x y\)  là đa thức thu gọn. 

a) Thu gọn đa thức \(\mathrm{N}\), ta được:
\(\begin{aligned} N=5 y^2 z^2-2 x y^2 z+\frac{1}{3} x-42 y^2 z^2+\frac{2}{3} x^4+x y^2 z \\ =\left(5 y^2 z^2-2 y^2 z^2\right)+\left(-2 x y^2 z+x y^2 z\right)+\left(\frac{1}{3} x^4+\frac{2}{3} x^4\right) \\=3 y^2 z^2-x y^2 z+x^4 \\ \text { Vậy N }=3 y^2 z^2-x y^2 z+x^4 .\end{aligned}\)
b) Dạng thu gọn của đa thức \(\mathrm{N}\) có ba hạng tử gồm:
- Hạng tử \(3 y^2 z^2\) có hệ số là 3 và bậc là 4 ;
- Hạng tử \(-x y^2 z\) có hệ số là -1 và bậc là 4 ;
- Hạng tử x \({ }^4\) có hệ số là 1 và bậc là 4.

a) Đa thức \(Q\) đã ở dạng thu gọn.
Đa thức \(Q=5 x^2-7 x y+2,5 y^2-8,3 y+1\) có bậc là 2 .
b) Ta có \(H=4 x^5-\frac{1}{2} x^3 y+\frac{3}{4} x^2 y^2-4 x^5+2 y^2-7\)
\(=\left(4 x^5-4 x^5\right)-\frac{1}{2} x^3 y+\frac{3}{4} x^2 y^2+2 y^2-7\)
\(=-\frac{1}{2} x^3 y+\frac{3}{4} x^2 y^2+2 y^2-7\).
Đa thức H có bậc là 4.

Một đa thức bậc hai thu gọn với hai biến (x và y) mà mỗi hạng tử của nó đều có hệ số bằng 1 thì có nhiều nhất là 6 hạng tử, đó là đa thức \(x^2\)+ \(y^2\) + xy + x + y + 1.

- Các biểu thức \(-x^2+3 x+1 ; 3 x^2 y^2-5 x^3 y+2,4\) là các đa thức;
- Ta có \(\frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}} x\).
Các biểu thức \(\frac{1}{\sqrt{5}} x \); 2024 là các đơn thức nên \(\frac{x}{\sqrt{5}} \); 2024 cũng là các đa thức.
- Các biểu thức \(x-\frac{\sqrt{5}}{x} ; \frac{1}{x^2+x+1}\) là không phải là đa thức.
Do đó, các biểu thức là đa thức gồm: \(-x^2+3 x+1 ; \frac{x}{\sqrt{5}} ; 2024 ; 3 x^2 y^2-5 x^3 y+2,4\)

a) Đa thức \(x^2 y-3 x y+5 x^2 y^2+0,5 x-4\) có:
- Hạng tử x²y có hệ số là 1 , bậc là 3 ;
- Hạng tử -3xy có hệ số là -3, bậc là 2;
- Hạng tử \(5 x^2 y^2\) có hệ số là 5 , bậc là 4 ;
- Hạng tử 0,5x có hệ số là 0,5, bậc là 1;
- Hạng tử -4 có hệ số là -4, bậc là 0 .
b) Đa thức \(x \sqrt{2}-2 x y^3+y^3-7 x^3 y\) có:
- Hạng tử \(x \sqrt{2}\) có hệ số là \(\sqrt{2}\), bậc là 1 ;
- Hạng tử \(-2 x y^3\) có hệ số là -2, bậc là 4;
- Hạng tử y \({ }^3\) có hệ số là 1 , bậc là 3 ;
- Hạng tử -7x³y có hệ số là -7, bậc là 4 .

\(\text { a) } 5 x^4-2 x^3 y+20 x y^3+6 x^3 y-3 x^2 y^2+x y^3-y^4 \)

\(=5 x^4+\left(6 x^3 y-2 x^3 y\right)+\left(20 x y^3+x y^3\right)-3 x^2 y^2-y^4 \)

\(=5 x^4+4 x^3 y+21 x y^3-3 x^2 y^2-y^4 \)

\(\text { b) } 0,6 x^3+x^2 z-2,7 x y^2+0,4 x^3+1,7 x y^2 \)

\(=\left(0,6 x^3+0,4 x^3\right)+x^2 z+\left(1,7 x y^2-2,7 x y^2\right) \)

\(=x^3+x^2 z-x y^2\)

a) Thu gọn đa thức:
\( x^4-3 x^2 y^2+3 x y^2-x^4+1\)

\(=\left(x^4-x^4\right)-3 x^2 y^2+3 x y^2+1\)

\(=-3 x^2 y^2+3 x y^2+1\)
Đa thức thu gọn ở trên có bậc là 4 nên đa thức đã cho có bậc là 4 .
b) Ta có:

 \(5 x^2 y+8 x y-2 x^2-5 x^2 y+x^2\)
\(=\left(5 x^2 y-5 x^2 y\right)+8 x y+\left(x^2-2 x^2\right)\)

\(=8 x y-x^2 \text {. }\)
Đa thức \(8 x y-x^2\) có bậc là 2 nên đa thức \(5 x^2 y+8 x y-2 x^2-5 x^2 y+x^2\) có bậc là 2 .

\(M=\frac{1}{3} x^2 y+x y^2-x y+\frac{1}{2} x y^2-5 x y-\frac{1}{3} x^2 y\)

\(=\left(\frac{1}{3} x^2 y-\frac{1}{3} x^2 y\right)+\left(x y^2+\frac{1}{2} x y^2\right)-(x y+5 x y)\)

\(=\frac{3}{2} x y^2-6 x y\)
Thay \(\mathrm{x}=0,5\) và \(\mathrm{y}=1\) vào đa thức \(\mathrm{M}\), ta được:
\( M=\frac{3}{2} . 0,5 . 1^2-6 . 0,5 . 1 \)

\( =\frac{3}{2} . 0,5-6 . 0,5=\frac{3}{4}-3=\frac{-9}{4}\)
Vậy \(M=\frac{-9}{4}\) tại x \(=0,5\) và \(y=1\).

a) Ta có:

 \(P=8 x^2 y^2 z-2 x y z+5 y^2 z-5 x^2 y^2 z+x^2 y^2-3 x^2 y^2 z\)
\( =\left(8 x^2 y^2 z-3 x^2 y^2 z-5 x^2 y^2 z\right)+x^2 y^2-2 x y z+5 y^2 z \)

\(=x^2 y^2-2 x y z+5 y^2 z\)
b) Thay \(x=-4 ; y=2\) và \(z=1\) vào đa thức \(P\), ta được:
\( P=(-4)^2 .2^2-2 .(-4). 2 . 1+5 . 2^2 . 1=16 . 4+8 . 2+5 . 4 \)

\(=16 . 4+8 . 2+5 . 4\)

\(=64+16+20=100\)
Vậy \(P=100\) tại \(x=-4 ; y=2\) và \(z=1\).