Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Theo đề bài, AD là đường phân giác của tam giác ABC.

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: \(\frac{D B}{D C}\) = \(\frac{A B}{A C}\) .

Theo đề bài, At là tia phân giác của góc xAy hay \(A D\) là tia phân giác của góc \(B A C\).
Tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) (vì \(A B=A C\) ) có \(A D\) là tia phân giác của góc \(B A C\) nên \(A D\) cũng là đường trung tuyến của tam giác \(A B C\).
Suy ra \(\mathrm{D}\) là trung điểm của cạnh \(\mathrm{BC}\) hay \(\mathrm{DB}=\mathrm{DC}\) nên \(\frac{D B}{D C}=1\).
Vì \(\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\) nên \(\frac{A B}{A C}=1\).
Vậy khi lấy \(\mathrm{B}\) và \(\mathrm{C}\) sao cho \(\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\) thì \(\frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A C}\).

Dùng thước có vạch chia đến milimét để đo độ dài các đoạn thẳng \(D B, D C\), ta được:
\(D B=12 \mathrm{~mm}=1,2 \mathrm{~cm} \text { và } D C=24 \mathrm{~mm}=2,4 \mathrm{~cm} \text {. }\)
Khi đó, \(\frac{D B}{D C}=\frac{1,2}{2,4}=\frac{1}{2} ; \frac{A B}{A C}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).
Vậy khi lấy \(\mathrm{B}\) và \(\mathrm{C}\) sao cho \(\mathrm{AB}=2 \mathrm{~cm}\) và \(\mathrm{AC}=4 \mathrm{~cm}\) thì \(\frac{D B}{D C}=\frac{A B}{A C}\).

Trong Hình 4.23 có \(\widehat{D E M}=\widehat{M E F}\) nên EM là tia phân giác của \(\widehat{D E F}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
\(\frac{E D}{E F}=\frac{M D}{M F}\) hay \(\frac{4,5}{x}=\frac{3,5}{5,6}\).
Suy ra \(x=\frac{5,6 \cdot 4,5}{3,5}=7,2\) (đvđd)
Vậy \(x=7,2\) (đvđd)

Trong Hình 4.24 có \(\widehat{M P H}=\widehat{N P H}\) nên \(\mathrm{PH}\) là tia phân giác của \(\widehat{M P N}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
\(\frac{M P}{N P}=\frac{M H}{N H}\) hay \(\frac{5}{x}=\frac{3}{5,1}\).
Suy ra \(x=\frac{5 \cdot 5,1}{3}=8,5\) (đvđd).
Vậy \(x=8,5\) (đvđd).

Theo đề bài, đường phân giác trong của góc \(\mathrm{A}\) cắt \(\mathrm{BC}\) tại \(\mathrm{D}\) nên \(\mathrm{AD}\) là tia phân giác của \(\widehat{B A C}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
\(\frac{A B}{A C}=\frac{D B}{D C} \text { hay } \frac{4,5}{7}=\frac{D B}{D C} \text { nên } \frac{D B}{4,5}=\frac{D C}{7} \text {. }\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\( \frac{D B}{4,5}=\frac{D C}{7}=\frac{D B+D C}{4,5+7}=\frac{B C}{11,5}=\frac{3,5}{11,5}=\frac{7}{23} .\)

Suy ra \(D C=\frac{7.7}{23}=\frac{49}{23} \approx 2,1(\mathrm{~m})\)
Vậy \(D C \approx 2,1 \mathrm{~m}\).

Theo đề bài, \(A B C D\) là hình vuông nên \(A B=A D\) và \(A C\) là tia phân giác của \(\widehat{B A D}\).
vì M là trung điểm của \(\mathrm{AB}\) nên \(A M=B M=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} A D\) hay \(\frac{A M}{A D}=\frac{1}{2}\).
Vì AC là tia phân giác của \(\widehat{B A D}\) hay AI là tia phân giác của \(\widehat{M A D}\), áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ADM, ta có:
\(\frac{A M}{A D}=\frac{I M}{I D}=\frac{1}{2} \text { suy ra } \mathrm{ID}=2 \mathrm{IM} \text {. }\)
Giả sử vận tốc đi bộ của bạn Mai và bạn Dung đều bằng nhau.
Theo đề bài, I là địa điểm gặp nhau nên bạn Mai đi theo quãng đường MI, bạn Dung đi theo quãng đường DI.

Vì quãng đường bạn Dung đi gấp 2 lần quãng đường bạn Mai đi và vận tốc đi bộ của hai bạn đều bằng nhau (giả sử) nên thời gian bạn Dung đi gấp 2 lần thời gian bạn Mai đi thì hai bạn mới gặp nhau tại địa điểm I.

Bạn Dung gặp bạn Mai lúc 7h30 nên thời gian bạn Mai đi trên quãng đường MI là:

7h30 – 7h = 30 phút.

Khi đó, thời gian bạn Dung đi là 1h. Do đó, bạn Dung xuất phát từ lúc:

7h30 – 1h = 6h30.

Vậy bạn Dung xuất phát lúc 6h30 để gặp bạn Mai lúc 7h30 tại điểm I.