Bài 16: Đường trung bình của tam giác

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:
Trong tam giác \(A B C\) có \(D, E\) lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(A C\) nên \(D \in A B ; E \in\) \(A C\) và \(A D=B D ; A E=E C\).
Suy ra DE là đường trung bình của tam giác \(\mathrm{ABC}\).
Do đó \(D E=\frac{1}{2} B C\) suy ra \(\mathrm{BC}=2 \mathrm{DE}=2.500=1000(\mathrm{~m})\)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(B\) và C bằng \(1000 \mathrm{~m}\).

Quan sát Hình 4.14, ta thấy:

* Xét ∆DEF có M là trung điểm của cạnh DE; N là trung điểm của cạnh DF nên MN là đường trung bình của ∆DEF.

* Xét ∆IHK có:

• B là trung điểm của cạnh IH; C là trung điểm của cạnh IK nên BC là đường trung bình của ∆DEF.

• B là trung điểm của cạnh IH; A là trung điểm của cạnh HK nên AB là đường trung bình của ∆DEF.

• A là trung điểm của cạnh HK; C là trung điểm của cạnh IK nên AC là đường trung bình của ∆DEF.

Vậy đường trung bình của ∆DEF là MN; các đường trung bình của ∆IHK là AB, BC, AC.

Ta có AD = BD và D ∈ AB nên D là trung điểm của AB;

AE = EC và E ∈ AC nên E là trung điểm của AC.

Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC, theo định lí Thalès đảo, ta suy ra  DE // BC (đpcm).

Vi \(D E\) là đường trung bình của tam giác \(A B C\) nên \(D, E\) lần lượt là trung điểm của \(A B, A C\)
Suy ra \(A D=\frac{1}{2} A B ; A E=\frac{1}{2} A C\).
Do đó \(D E\) // \(B C\) (theo định lí Thalès đảo).
Vi \(E\), F lần lượt là trung điểm của \(A C, B C\).
Suy ra \(E C=\frac{1}{2} A C ; C F=\frac{1}{2} B C\).
Do đó \(E F / / A B\) (theo định lí Thalès đảo).
Xét tứ giác \(D E F B\) có \(D E / / B F\) (vì \(D E / / B C)\); \(E F / / B D\) (vì \(E F / / A B\) )
Do đó tứ giác DEFB là hình bình hành.

Tam giác \(A B C\) cân tại \(\mathrm{A}\) nên \(\widehat{B}=\widehat{C}\).
Vi \(D\) và \(E\) lần lượt là trung điểm của \(A B, A C\) nên \(D E\) là đường trung bình của tam giác \(A B C\).
Suy ra \(\mathrm{DE}\) // \(\mathrm{BC}\) nên tứ giác \(\mathrm{DECB}\) là hình thang.
Hình thang \(\mathrm{DECB}\) có \(\widehat{B}=\widehat{C}\) nên tứ giác \(\mathrm{DECB}\) là hình thang cân.

Trong tam giác \(A B C\) có \(D, E\) lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(A C\) nên \(D \in A B ; E \in\) \(A C\) và \(A D=B D ; A E=E C\).
Suy ra DE là đường trung bình của tam giác \(\mathrm{ABC}\).
Do đó \(D E=\frac{1}{2} B C\) suy ra \(\mathrm{BC}=2 \mathrm{DE}=2.500=1000(\mathrm{~m})\)
Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(B\) và C bằng \(1000 \mathrm{~m}\).

- Hình 4.18 a)
Ta có: \(D H=H F, H \in D F\) nên \(H\) là trung điểm của DF;
\(E K=K F, K \in E F\) nên \(K\) là trung điểm của \(E F\).
Xét tam giác \(D E F\) có \(H, K\) lần lượt là trung điểm của \(D F\), EF nên \(H K\) là đường trung bình của tam giác DEF.
Suy ra \(H K=\frac{1}{2} D E=\frac{1}{2} x\)
Do đó \(\mathrm{x}=2 \mathrm{HK}=2 \cdot 3=6\).
- Hình 4.18 b)
\(\mathrm{VinN} M \mathrm{AB}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{AB}\) nên \(M N / / A C\)
Mà \(\mathrm{M}\) là trung điểm của \(\mathrm{BC}\) (vì \(\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=3\) )
Suy ra \(M N\) là đường trung bình của tam giác \(A B C\).
Do đó \(\mathrm{y}=\mathrm{NC}=\mathrm{BN}=5\).

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN // BC hay MN //  BP.

Tứ giác BMNC có MN //  BP nên tứ giác BMNC là hình thang (đpcm).

b) Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC suy ra NP // AB hay NP // MB.

Tứ giác MNPB có MN // BP; BM // NP (chứng minh trên).

Do đó, tứ giác MNPB là hình bình hành.

a) Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Ta có BE = DE và E ∈ BD nên E là trung điểm của BD.

Xét tam giác BCD có E, M lần lượt là trung điểm của BD, BC nên EM là đường trung bình của tam giác BCD.

Do đó DC // EM (tính chất đường trung bình).

b) Ta có D là trung điểm của AE (vì AD = DE, D ∈ AE).

Mà DI // EM (vì DC // EM).

Do đó DI là đường trung bình của tam giác AEM.

Suy ra I là trung điểm của AM.

Vì \(A B C D\) là hình chữ nhật nên \(\widehat{B A D}=90^{\circ}\) và hai đường chéo \(A C, B D\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm \(\mathrm{O}\) của mỗi đường.
Suy ra \(A B \perp A D ; O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\).
\(\mathrm{Vi} \mathrm{O}, \mathrm{H}\) lần lượt là trung điểm của \(\mathrm{BD}\) và \(\mathrm{AB}\) nên \(\mathrm{OH}\) là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra \(\mathrm{OH} / / \mathrm{AD}\) mà \(\mathrm{AB} \perp \mathrm{AD}\) nên \(\mathrm{OH} \perp \mathrm{AB}\) hay \(\widehat{A H O}=90^{\circ}\).
Tương tự, ta chứng minh được: \(\mathrm{OK} \perp \mathrm{AD}\) hay \(\widehat{A K O}=90^{\circ}\).
Ta có: \(\widehat{B A D}+\widehat{A H O}+\widehat{A K O}+\widehat{H O K}=360^{\circ}\)
\(90^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+\widehat{H O K}=360^{\circ}\)
\(270^{\circ}+\widehat{H O K}=360^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{H O K}=360^{\circ}-270^{\circ}=90^{\circ}\).
Tứ giác AHOK có \(\widehat{B A D}=90^{\circ} ; \widehat{A H O}=90^{\circ} ; \widehat{A K O}=90^{\circ} ; \widehat{H O K}=90^{\circ}\).

Do đó, tứ giác AHOK là hình chữ nhật.