Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:
Hai cạnh $A C$ và $B D$ thuộc hai bờ của con sông nên $A C / / B D$, áp dụng định lí Thalès, ta có:
$\frac{A E}{A B}=\frac{C E}{C D}$ hay $\frac{400}{300}=\frac{500}{C D}$.
Suy ra $C D=\frac{300 \cdot 500}{400}=375(\mathrm{~m})$
Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

Chọn đoạn $\mathrm{MN}$ làm đơn vị độ dài thì $\mathrm{MN}=1$ (đvđd).
Khi đó, $A B=2$ (đvđd) $; C D=6$ (đvđd) .
Do đó $\frac{A B}{C D}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
Vậy $A B=2$ (đvđd); $C D=6$ (đvđd); $\frac{A B}{C D}=\frac{1}{3}$.

Đo độ dài các đoạn thẳng, ta được: $A B=4,8 \mathrm{~cm} ; C D=14,4 \mathrm{~cm}$.
Khi đó $\frac{A B}{C D}=\frac{4,8}{14,4}=\frac{1}{3}$.

Tỉ số $\frac{A B}{C D}$ tìm được ở Hoạt động 1 và Hoạt động 2 bằng nhau và đều bằng $\frac{1}{3}$.

a) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: $\frac{M N}{P Q}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} ; \frac{P Q}{M N}=\frac{9}{3}=\frac{3}{1}$
Vậy $\frac{M N}{P Q}=\frac{1}{3} ; \frac{P Q}{M N}=\frac{3}{1}$.
b) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: $\frac{E F}{H K}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2} ; \frac{H K}{E F}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$.
Vậy $\frac{E F}{H K}=\frac{5}{2} ; \frac{H K}{E F}=\frac{2}{5}$.

a) Từ hình vẽ ta thấy: $\frac{A B^{\prime}}{A B}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} ; \frac{A C}{A C}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
Do đó, $\frac{A B^{\prime}}{A B}=\frac{A C}{A C}$.
b) Từ hình vẽ ta thấy: $\frac{A B^{\prime}}{B^{\prime} B}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1} ; \frac{A C^{\prime}}{C^{\prime} C}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$.
Vậy $\frac{A B^{\prime}}{B^{\prime} B}=\frac{A C^{\prime}}{C^{\prime} C}$.
c) Từ hình vẽ ta thấy: $\frac{B^{\prime} B}{A B}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} ; \frac{C^{\prime} C}{A C}=\frac{6}{2}=\frac{3}{1}$.
Do đó $\frac{B^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} C}{A C}$.

a) Áp dụng định lí Thalès vào $\triangle A B C$, ta có:
$\frac{A M}{B M}=\frac{A N}{C N} \text { hay } \frac{6,5}{x}=\frac{4}{2} \text {. }$
Suy ra $x=\frac{6,5 \cdot 2}{4}=3,25$ (đvđd).
Vậy $x=3,25$ (đvđd).
b) Ta có: $P Q=P F+Q F=5$ + 3,5 = 8,5 (đvđd).
Áp dụng định lí Thalès vào $\triangle \mathrm{PHQ}$, ta có:
$\frac{P E}{P H}=\frac{P F}{P Q}$ hay $\frac{4}{y}=\frac{5}{8,5}$.
Suy ra $y=\frac{4 \cdot 8,5}{5}=6,8$ (đvđd).
Vậy y = 6,8 (đvđd).

Hai cạnh $A C$ và $B D$ thuộc hai bờ của con sông nên $A C / / B D$, áp dụng định lí Thalès, ta có:
$\frac{A E}{A B}=\frac{C E}{C D} \text { hay } \frac{400}{300}=\frac{500}{C D} \text {. }$
Suy ra $C D=\frac{300.500}{400}=375(\mathrm{~m})$.
Vậy khoảng cách giữa C và D bằng $375 \mathrm{~m}$.

Hình 4.9 a)

Vì HK // QE nên áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{P H}{Q H}=\frac{P K}{K E} \text { hay } \frac{6}{4}=\frac{8}{x} \text {. }$
Suy ra $x=\frac{8 \cdot 4}{6}=\frac{16}{3} \approx 5,3$ (đvđd).
- Hinh 4.9 b)
Vì $\widehat{A M N}=\widehat{A B C}$ mà $\widehat{A M N}$ và $\widehat{A B C}$ là hai góc đồng vị nên $\mathrm{MN} / / \mathrm{BC}$.
Ta có $A B=A M+B M=y+6,5$.
Áp dụng định lí Thalès, ta có: $\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A C}$ hay $\frac{y}{y+6,5}=\frac{8}{11}$.
Suy ra $11 y=8(y+6,5)$
$11 y=8 y+52$
$11 y-8 y=52$
$3 y=52$
$y=\frac{52}{3} \approx 17,3$(đvđd)

Vậy x ≈ 5,3 (đvđd); y ≈ 17,3 (đvđd).

- Hình 4.10 a)
Ta có $\frac{E M}{E N}=\frac{2}{3} ; \frac{M F}{P F}=\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{E M}{E N}=\frac{M F}{P F}$.

Vi $\frac{E M}{E N}=\frac{M F}{P F}, E \in \mathrm{MN}, \mathrm{F} \in \mathrm{MP}$ nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra $\mathrm{EF} / / \mathrm{MN}$.
- Hình 4.10 b)
* Ta có: $\frac{H F}{K F}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6} ; \frac{H M}{M Q}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$.
Vi $\frac{H F}{K F} \neq \frac{H M}{M Q}$ nên MF không song song với KQ.
* Ta có: $\frac{M Q}{M H}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3} ; \frac{E Q}{E K}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$.
$\mathrm{Vi} \frac{M Q}{M H}=\frac{E Q}{E K} ; \mathrm{F} \in \mathrm{HK} ; \mathrm{M} \in \mathrm{HQ}$ nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra $\mathrm{ME} / / \mathrm{HK}$.

Áp dụng định lí Thalès, ta có:
- Vì DE // AC nên $\frac{A E}{A B}=\frac{C D}{B C}$;
- Vì DF // AC nên $\frac{A F}{A C}=\frac{B D}{B C}$.
Khi đó, $\frac{A E}{A B}+\frac{A F}{A C}=\frac{C D}{B C}+\frac{B D}{B C}=1$ (đpcm).

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.
Khi đó, $A D$ là đường trung tuyến của tam giác $A B C$.
Vì G là trọng tâm của tam giác $A B C$ nên điểm G nằm trên cạnh $A D$.
Ta có $\frac{A G}{A D}=\frac{2}{3}$ hay $A G=\frac{2}{3} A D$.
Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\frac{A G}{A D}=\frac{B M}{B D}=\frac{2}{3}$.
Ta có $\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$ (vì $\mathrm{D}$ là trung điểm của cạnh $\mathrm{BC}$ ) nên $\frac{B M}{B C}=\frac{B M}{2 B D}=\frac{2}{2 \cdot 3}=\frac{1}{3}$.
Do đó $B M=\frac{1}{3} B C$ (đpcm).

Theo đề bài, ba điểm $C, E, B$ thẳng hàng, ba điểm $C, F, A$ thẳng hàng và $A B / / E F$, áp dụng định lí Thalès, ta có:
$\frac{E C}{B E}=\frac{C F}{A F}$ hay $\frac{30}{B E}=\frac{20}{40}$.
Suy ra $B E=\frac{30 \cdot 40}{20}=60(\mathrm{~m})$.
Vậy khoảng cách giữa hai vị trí $B$ và $E$ bằng $60 \mathrm{~m}$.