Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

Mở đầu

76

Cây cầu AB bắc qua một con sông có chiều rộng 300 m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm C và D trên hai bờ con sông, người ta chọn một điểm E trên đường thẳng AB sao cho ba điểm E, C, D thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được AE = 400 m, EC = 500 m. Theo em, người ta tính khoảng cách giữa C và D như thế nào?

mo-dau-trang-76-toan-8-tap-1.png
Đáp ánarrow-down-icon

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:
Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC//BD, áp dụng định lí Thalès, ta có:
AEAB=CECD hay 400300=500CD.
Suy ra CD=300500400=375( m)
Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

Hoạt động 1

77

Cho Hình 4.2, em hãy thực hiện các hoạt động sau:

hd1-trang-77-toan-8-tap-1.png

Hãy tìm độ dài của hai đoạn thẳng AB và CD nếu chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài. Với các độ dài đó hãy tính tỉ số ABCD.

Đáp ánarrow-down-icon

Chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài thì MN=1 (đvđd).
Khi đó, AB=2 (đvđd) ;CD=6 (đvđd) .
Do đó ABCD=26=13.
Vậy AB=2 (đvđd); CD=6 (đvđd); ABCD=13.

Hoạt động 2

77

Cho Hình 4.2, em hãy thực hiện các hoạt động sau:

hd1-trang-77-toan-8-tap-1.png

Dùng thước thẳng, đo độ dài hai đoạn thẳng AB và CD (đơn vị: cm ) rồi dùng kết quả vừa đo để tính tỉ số ABCD.

Đáp ánarrow-down-icon

Đo độ dài các đoạn thẳng, ta được: AB=4,8 cm;CD=14,4 cm.
Khi đó ABCD=4,814,4=13.

Hoạt động 3

77

So sánh hai tỉ số tìm được trong hai hoạt động trên.

Đáp ánarrow-down-icon

Tỉ số ABCD tìm được ở Hoạt động 1 và Hoạt động 2 bằng nhau và đều bằng 13.

Luyện tập 1

77

 Tính tỉ số của các đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) MN = 3 cm và PQ = 9 cm.

b) EF = 25 cm và HK = 10 dm.

Đáp ánarrow-down-icon

a) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: MNPQ=39=13;PQMN=93=31
Vậy MNPQ=13;PQMN=31.
b) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: EFHK=2510=52;HKEF=1025=25.
Vậy EFHK=52;HKEF=25.

Luyện tập 2

Cho tam giác ABC và một điểm B’ nằm trên cạnh AB. Qua điểm B’, ta vẽ một đường thẳng song song với BC, cắt A tại C’ (H.4.4).

luyen-tap-2-trang-78-toan-8-tap-1.png

Dựa vào hình vẽ, hãy tính và so sánh các tỉ số sau và viết các tỉ lệ thức:
a) ABAB và ACAC.
b) ABBB và ACCC.
c) BBAB và CCAC.

Đáp ánarrow-down-icon

a) Từ hình vẽ ta thấy: ABAB=46=23;ACAC=46=23.
Do đó, ABAB=ACAC.
b) Từ hình vẽ ta thấy: ABBB=42=21;ACCC=42=21.
Vậy ABBB=ACCC.
c) Từ hình vẽ ta thấy: BBAB=26=13;CCAC=62=31.
Do đó BBAB=CCAC.

Luyện tập 3

79

Tìm các độ dài x, y trong Hình 4.6.

luyen-tap-3-trang-79-toan-8-tap-1.png
Đáp ánarrow-down-icon

a) Áp dụng định lí Thalès vào ABC, ta có:
AMBM=ANCN hay 6,5x=42
Suy ra x=6,524=3,25 (đvđd).
Vậy x=3,25 (đvđd).
b) Ta có: PQ=PF+QF=5 + 3,5 = 8,5 (đvđd).
Áp dụng định lí Thalès vào PHQ, ta có:
PEPH=PFPQ hay 4y=58,5.
Suy ra y=48,55=6,8 (đvđd).
Vậy y = 6,8 (đvđd).

Vận dụng

80

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Cây cầu AB bắc qua một con sông có chiều rộng 300 m. Để đo khoảng cách giữa hai điểm C và D trên hai bờ con sông, người ta chọn một điểm E trên đường thẳng AB sao cho ba điểm E, C, D thẳng hàng. Trên mặt đất, người ta đo được AE = 400 m, EC = 500 m. Theo em, người ta tính khoảng cách giữa C và D như thế nào?

mo-dau-trang-76-toan-8-tap-1.png
Đáp ánarrow-down-icon

Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC//BD, áp dụng định lí Thalès, ta có:
AEAB=CECD hay 400300=500CD
Suy ra CD=300.500400=375( m).
Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

Câu hỏi 4.1

80

Tìm độ dài x, y trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

bai-4-1-trang-80-toan-lop-8-tap-1.png
Đáp ánarrow-down-icon

Hình 4.9 a)

Vì HK // QE nên áp dụng định lí Thalès, ta có:

PHQH=PKKE hay 64=8x
Suy ra x=846=1635,3 (đvđd).
- Hinh 4.9 b)
Vì AMN^=ABC^ mà AMN^ và ABC^ là hai góc đồng vị nên MN//BC.
Ta có AB=AM+BM=y+6,5.
Áp dụng định lí Thalès, ta có: AMAB=ANAC hay yy+6,5=811.
Suy ra 11y=8(y+6,5)
11y=8y+52
11y8y=52
3y=52
y=52317,3(đvđd)

Vậy x ≈ 5,3 (đvđd); y ≈ 17,3 (đvđd).

Câu hỏi 4.2

80

Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và giải thích tại sao chúng song song với nhau.

bai-4-2-trang-80-toan-lop-8-tap-1.png
Đáp ánarrow-down-icon

- Hình 4.10 a)
Ta có EMEN=23;MFPF=34,5=23 nên EMEN=MFPF.

Vi EMEN=MFPF,EMN,FMP nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra EF//MN.
- Hình 4.10 b)
* Ta có: HFKF=1412=76;HMMQ=1510=32.
Vi HFKFHMMQ nên MF không song song với KQ.
* Ta có: MQMH=1015=23;EQEK=1218=23.
ViMQMH=EQEK;FHK;MHQ nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra ME//HK.

Câu hỏi 4.3

80

Cho ∆ABC, từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh rằng: AEAB+AFAC=1

Đáp ánarrow-down-icon
bai-4-3-trang-80-toan-lop-8-tap-1.png

Áp dụng định lí Thalès, ta có:
- Vì DE // AC nên AEAB=CDBC;
- Vì DF // AC nên AFAC=BDBC.
Khi đó, AEAB+AFAC=CDBC+BDBC=1 (đpcm).

Câu hỏi 4.4

80

Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng BM=13BC.

Đáp ánarrow-down-icon
bai-4-4-trang-80-toan-lop-8-tap-1.png

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.
Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.
Ta có AGAD=23 hay AG=23AD.
Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: AGAD=BMBD=23.
Ta có BD=CD (vì D là trung điểm của cạnh BC ) nên BMBC=BM2BD=223=13.
Do đó BM=13BC (đpcm).

Câu hỏi 4.5

80

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ sông, bác An chọn ba vị trí A, F, C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF (H.4.11). Sau đó bác An đo được AF = 40 m, FC = 20 m, EC = 30 m. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng bao nhiêu?

bai-4-5-trang-80-toan-lop-8-tap-1.png
Đáp ánarrow-down-icon

Theo đề bài, ba điểm C,E,B thẳng hàng, ba điểm C,F,A thẳng hàng và AB//EF, áp dụng định lí Thalès, ta có:
ECBE=CFAF hay 30BE=2040.
Suy ra BE=304020=60( m).
Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng 60 m.