Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:
Hai cạnh \(A C\) và \(B D\) thuộc hai bờ của con sông nên \(A C / / B D\), áp dụng định lí Thalès, ta có:
\(\frac{A E}{A B}=\frac{C E}{C D}\) hay \(\frac{400}{300}=\frac{500}{C D}\).
Suy ra \(C D=\frac{300 \cdot 500}{400}=375(\mathrm{~m})\)
Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

Chọn đoạn \(\mathrm{MN}\) làm đơn vị độ dài thì \(\mathrm{MN}=1\) (đvđd).
Khi đó, \(A B=2\) (đvđd) \(; C D=6\) (đvđd) .
Do đó \(\frac{A B}{C D}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
Vậy \(A B=2\) (đvđd); \(C D=6\) (đvđd); \(\frac{A B}{C D}=\frac{1}{3}\).

Đo độ dài các đoạn thẳng, ta được: \(A B=4,8 \mathrm{~cm} ; C D=14,4 \mathrm{~cm}\).
Khi đó \(\frac{A B}{C D}=\frac{4,8}{14,4}=\frac{1}{3}\).

Tỉ số \(\frac{A B}{C D}\) tìm được ở Hoạt động 1 và Hoạt động 2 bằng nhau và đều bằng \(\frac{1}{3}\).

a) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: \(\frac{M N}{P Q}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} ; \frac{P Q}{M N}=\frac{9}{3}=\frac{3}{1}\)
Vậy \(\frac{M N}{P Q}=\frac{1}{3} ; \frac{P Q}{M N}=\frac{3}{1}\).
b) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: \(\frac{E F}{H K}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2} ; \frac{H K}{E F}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\).
Vậy \(\frac{E F}{H K}=\frac{5}{2} ; \frac{H K}{E F}=\frac{2}{5}\).

a) Từ hình vẽ ta thấy: \(\frac{A B^{\prime}}{A B}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} ; \frac{A C}{A C}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).
Do đó, \(\frac{A B^{\prime}}{A B}=\frac{A C}{A C}\).
b) Từ hình vẽ ta thấy: \(\frac{A B^{\prime}}{B^{\prime} B}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1} ; \frac{A C^{\prime}}{C^{\prime} C}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}\).
Vậy \(\frac{A B^{\prime}}{B^{\prime} B}=\frac{A C^{\prime}}{C^{\prime} C}\).
c) Từ hình vẽ ta thấy: \(\frac{B^{\prime} B}{A B}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} ; \frac{C^{\prime} C}{A C}=\frac{6}{2}=\frac{3}{1}\).
Do đó \(\frac{B^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} C}{A C}\).

a) Áp dụng định lí Thalès vào \(\triangle A B C\), ta có:
\(\frac{A M}{B M}=\frac{A N}{C N} \text { hay } \frac{6,5}{x}=\frac{4}{2} \text {. }\)
Suy ra \(x=\frac{6,5 \cdot 2}{4}=3,25\) (đvđd).
Vậy \(x=3,25\) (đvđd).
b) Ta có: \(P Q=P F+Q F=5\) + 3,5 = 8,5 (đvđd).
Áp dụng định lí Thalès vào \(\triangle \mathrm{PHQ}\), ta có:
\(\frac{P E}{P H}=\frac{P F}{P Q}\) hay \(\frac{4}{y}=\frac{5}{8,5}\).
Suy ra \(y=\frac{4 \cdot 8,5}{5}=6,8\) (đvđd).
Vậy y = 6,8 (đvđd).

Hai cạnh \(A C\) và \(B D\) thuộc hai bờ của con sông nên \(A C / / B D\), áp dụng định lí Thalès, ta có:
\(\frac{A E}{A B}=\frac{C E}{C D} \text { hay } \frac{400}{300}=\frac{500}{C D} \text {. }\)
Suy ra \(C D=\frac{300.500}{400}=375(\mathrm{~m})\).
Vậy khoảng cách giữa C và D bằng \(375 \mathrm{~m}\).

Hình 4.9 a)

Vì HK // QE nên áp dụng định lí Thalès, ta có:

\(\frac{P H}{Q H}=\frac{P K}{K E} \text { hay } \frac{6}{4}=\frac{8}{x} \text {. }\)
Suy ra \(x=\frac{8 \cdot 4}{6}=\frac{16}{3} \approx 5,3\) (đvđd).
- Hinh 4.9 b)
Vì \(\widehat{A M N}=\widehat{A B C}\) mà \(\widehat{A M N}\) và \(\widehat{A B C}\) là hai góc đồng vị nên \(\mathrm{MN} / / \mathrm{BC}\).
Ta có \(A B=A M+B M=y+6,5\).
Áp dụng định lí Thalès, ta có: \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A C}\) hay \(\frac{y}{y+6,5}=\frac{8}{11}\).
Suy ra \(11 y=8(y+6,5)\)
\(11 y=8 y+52\)
\(11 y-8 y=52\)
\(3 y=52\)
\(y=\frac{52}{3} \approx 17,3\)(đvđd)

Vậy x ≈ 5,3 (đvđd); y ≈ 17,3 (đvđd).

- Hình 4.10 a)
Ta có \(\frac{E M}{E N}=\frac{2}{3} ; \frac{M F}{P F}=\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}\) nên \(\frac{E M}{E N}=\frac{M F}{P F}\).

Vi \(\frac{E M}{E N}=\frac{M F}{P F}, E \in \mathrm{MN}, \mathrm{F} \in \mathrm{MP}\) nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra \(\mathrm{EF} / / \mathrm{MN}\).
- Hình 4.10 b)
* Ta có: \(\frac{H F}{K F}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6} ; \frac{H M}{M Q}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\).
Vi \(\frac{H F}{K F} \neq \frac{H M}{M Q}\) nên MF không song song với KQ.
* Ta có: \(\frac{M Q}{M H}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3} ; \frac{E Q}{E K}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\).
\(\mathrm{Vi} \frac{M Q}{M H}=\frac{E Q}{E K} ; \mathrm{F} \in \mathrm{HK} ; \mathrm{M} \in \mathrm{HQ}\) nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra \(\mathrm{ME} / / \mathrm{HK}\).

Áp dụng định lí Thalès, ta có:
- Vì DE // AC nên \(\frac{A E}{A B}=\frac{C D}{B C}\);
- Vì DF // AC nên \(\frac{A F}{A C}=\frac{B D}{B C}\).
Khi đó, \(\frac{A E}{A B}+\frac{A F}{A C}=\frac{C D}{B C}+\frac{B D}{B C}=1\) (đpcm).

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.
Khi đó, \(A D\) là đường trung tuyến của tam giác \(A B C\).
Vì G là trọng tâm của tam giác \(A B C\) nên điểm G nằm trên cạnh \(A D\).
Ta có \(\frac{A G}{A D}=\frac{2}{3}\) hay \(A G=\frac{2}{3} A D\).
Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: \(\frac{A G}{A D}=\frac{B M}{B D}=\frac{2}{3}\).
Ta có \(\mathrm{BD}=\mathrm{CD}\) (vì \(\mathrm{D}\) là trung điểm của cạnh \(\mathrm{BC}\) ) nên \(\frac{B M}{B C}=\frac{B M}{2 B D}=\frac{2}{2 \cdot 3}=\frac{1}{3}\).
Do đó \(B M=\frac{1}{3} B C\) (đpcm).

Theo đề bài, ba điểm \(C, E, B\) thẳng hàng, ba điểm \(C, F, A\) thẳng hàng và \(A B / / E F\), áp dụng định lí Thalès, ta có:
\(\frac{E C}{B E}=\frac{C F}{A F}\) hay \(\frac{30}{B E}=\frac{20}{40}\).
Suy ra \(B E=\frac{30 \cdot 40}{20}=60(\mathrm{~m})\).
Vậy khoảng cách giữa hai vị trí \(B\) và \(E\) bằng \(60 \mathrm{~m}\).