Bài 14: Hình thoi và hình vuông

Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên ta suy ra hai cặp cạnh đối bằng nhau.

Ta suy ra tính chất hình thoi dựa vào tính chất của hình bình hành như sau:

- Hình thoi có hai góc đối bằng nhau.

- Hình thoi có các cặp cạnh đối song song.

- Hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

a) Vì tứ giác \(A B C D\) là hình thoi nên \(A B=A D\).
Suy ra \(\triangle A B D\) có cân tại \(A\).
b) Vì tứ giác \(A B C D\) là hình thoi nên \(A B=B C=C D=D A\).
Xét \(\triangle A B C\) và \(\triangle A D C\) có:
\(\mathrm{AB}=\mathrm{AD}\) (chứng minh trên);
\(\mathrm{BC}=\mathrm{CD}\) (chứng minh trên);
Cạnh AC chung.
Do đó \(\triangle A B C=\triangle A D C\) (c.c.C)
Suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (hai góc tương ứng)
Hay \(A C\) là đường phân giác của góc \(A\).
Tam giác \(\mathrm{ABD}\) cân tại \(\mathrm{A}\) có \(\mathrm{AO}\) là đường phân giác của góc \(\mathrm{A}\) (vì \(\mathrm{AC}\) là đường phân giác góc \(\mathrm{A}\) ) nên \(\mathrm{AO}\) cũng là đường cao.
Khi đó \(\mathrm{AO} \perp \mathrm{BD}\) hay \(\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}\).
Vậy \(A C\) vuông góc với \(B D\) và \(A C\) là đường phân giác của góc \(A\).

Giả thiết, kết luận của Định lí 2.

a)

Ta có thể viết giả thiết đối với các cặp cạnh kề khác, chẳng hạn như:

Hình bình hành ABCD có BC = CD hoặc CD = DA hoặc DA = AB.

b)

c)

Ta có thể viết giả thiết tương tự đối với tia phân giác góc B hoặc góc C hoặc góc D.

Tứ giác đã cho có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và chúng vuông góc với nhau nên tứ giác đó là hình thoi.
- Gọi tứ giác trong Hình 3.51b) là tứ giác \(A B C D\).
Vi \(\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(A B / / C D\).
Mà \(A B=C D\) nên tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành.
Mặt khác, \(\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\) hay \(\mathrm{DB}\) là tia phân giác của \(\widehat{A \mathrm{DC} C}\)
Khi đó, hình bình hành \(\mathrm{ABCD}\) có \(\mathrm{DB}\) là tia phân giác của \(\widehat{\mathrm{ADC}}\).
Do đó tứ giác \(A B C D\) là hình thoi.
- Tứ giác trong Hình 3.51c) hai đường chéo vuông góc với nhau và có đường chéo là đường vuông góc của một góc của tứ giác.
Từ đó ta suy ra tứ giác đã cho không phải là hình thoi.
Vậy Hình 3.51a và Hình 3.51b là hình thoi.

Hình vuông cũng là hình thoi, hình chữ nhật.

Mà hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau còn hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Do đó, hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Ta có thể viết giả thiết đối với cặp cạnh kề khác như: AB = BC; BC = CD; CD = AD.

• Hình 3.54a)
Tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra tứ giác này là hình chữ nhật.
Mà \(A B=B C\) nên tứ giác \(A B C D\) là hình vuông.
Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
• Hình 3.54b)
Tứ giác EFGH có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm \(\mathrm{P}\) của mỗi đường.
Ta có
\(\widehat{E F G}=\widehat{E F P}+\widehat{G F P}=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}\)
Suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật \(\mathrm{EFGH}\) có đường chéo \(\mathrm{FH}\) là đường phân giác của \(\widehat{E F G}\).
Do đó tứ giác EFGH là hình vuông.
Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc của hình vuông.
- Hình 3.54c)
Tứ giác IJKL có hai đường chéo \(\mathrm{IK}\) và \(\mathrm{JL}\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm \(\mathrm{Q}\) của mỗi đường.
Suy ra tứ giác IJKL là hình chữ nhật.
Mà IK \(\perp\) JL nên tứ giác IJKL là hình vuông.
Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông

- Trong trường hợp a:

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông thì tạo ra tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và đều bằng cạnh AB.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

- Trong trường hợp b:

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông. Nếu OA = OB thì hai đường chéo của tứ giác bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Khi đó, tứ giác đã cho là hình vuông.

* Xét Hình 3.55a)
Tứ giác \(A B C D\) có \(A B=C D ; A D=B C\).
Suy ra tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành.
* Xét Hình 3.55b)
Tứ giác \(\mathrm{EFGH}\) có hai đường chéo \(\mathrm{EG}\) và \(\mathrm{FH}\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.
Hình bình hành EFGH có hai đường chéo vuông góc với nhau
Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.
* Xét Hình 3.55c)\(\text { Ta } \quad \text { tam } \widehat{N M P}=\widehat{N P M}=45^{\circ} \Rightarrow \widehat{M N P}=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ} \text { (1) }\)\(\widehat{N M P}=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}(2) \)

\(\widehat{N P Q}=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}(3) \)
Từ (1), (2) và (3) ta có MNPQ là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Xét hình chữ nhật \(\mathrm{MNPQ}\) có \(M P \perp N Q\) nên \(\mathrm{MNPQ}\) là hình vuông (dựa theo dấu hiệu nhận biết hình vuông).
* Xét Hình 3.55d)
Tứ giác SRTU là hình cái diều (không phải hình thoi) vì các cạnh của tứ giác không bằng nhau.

a) Tứ giác AEDF có AE // DF; AF // DE (giả thiết).

Suy ra tứ giác AEDF là hình bình hành.

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A.

Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì hình vuông là hình bình hành có một góc vuông).

d) Nếu ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác của góc A với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).

Xét tam giác \(A B D\) có \(E\) và \(H\) lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(A D\).
Suy ra EH là đường trung bình của tam giác \(\mathrm{ABD}\).
Do đó \(E H=\frac{E \mathrm{D}}{2}\)( 1)
Chứng minh tương tự, ta có: \(F G=\frac{B \mathrm{D}}{2} ; \mathrm{EF}=\frac{A C}{2} ; H G=\frac{A C}{2}\) (2)
Lại có, \(A B C D\) là hình chữ nhật nên \(A C=B D\) (3)
Từ' (1), (2) và (3) suy ra EF = FG = GH = HE.
Do đó tứ giác \(A B C D\) là hình thoi.

Ta cần chứng minh EFGH là hình chữ nhật. Thật vậy:
Do \(A B C D\) là hình thoi nên \(A B=B C=C D=D A\).

Do \(E, \mathrm{H}\) lần lượt là trung điểm của \(\mathrm{AB}, \mathrm{AD}\) nên \(\mathrm{AH}=\mathrm{DH}=\mathrm{AE}=\mathrm{BE}\).
Tam giác \(\mathrm{AHE}\) có \(\mathrm{AH}=\mathrm{AE}\) nên là tam giác cân tại \(\mathrm{A}\), suy ra \(\widehat{A H E}=\widehat{A E H}\)
Mà \(\widehat{H A E}+\widehat{A H E}+\widehat{A E H}=180^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{A H E}=\frac{180^{\circ}-\widehat{H A E}}{2}\)
Tương tự, ta có tam giác \(\mathrm{DHG}\) cân tại \(\mathrm{D}\) nên \(\widehat{D H G}=\frac{180^{\circ}-\widehat{H D G}}{2}\)
Mặt khác, do \(A B C D\) là hình thoi nên \(A B / / C D\), suy ra \(\widehat{H A E}+\widehat{H D G}=180^{\circ}\)
Khi đó \(\widehat{A H E}+\widehat{D H G}=\frac{180^{\circ}-\widehat{H A E}}{2}+\frac{180^{\circ}-\widehat{H D G}}{2}\)
\(\begin{aligned}=\frac{180^{\circ}-\widehat{H A E}+180^{\circ}-\widehat{H D G}}{2} \\=\frac{360^{\circ}-(\widehat{H A E}+\widehat{H D G})}{2} \\=\frac{360^{\circ}-180^{\circ}}{2}\end{aligned}\)
Mà \(\widehat{A H E}+\widehat{D H G}+\widehat{E H G}=180^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{E H G}=180^{\circ}-(\widehat{A H E}+\widehat{D H G})=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\)
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có \(\widehat{H E F}=\widehat{E F G}=\widehat{F G H}=90^{\circ}\).
Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

Kẻ IM, dựa vào tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có \(A B=M I=\frac{A \mathrm{D}}{2}\).

Tính các cạnh của hình chữ nhật dựa vào công thức tính chu vi hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Gọi I là trung điểm của \(A D\).
Theo tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có \(M I=\frac{A \mathrm{D}}{2}\) mà \(\mathrm{M}\) là trung điểm của \(\mathrm{BC}\) nên \(\mathrm{MI}=\mathrm{AB}\).
Suy ra \(A B=\frac{A \mathrm{D}}{2}\) nên \(\mathrm{AD}=2 \mathrm{AB}\).
Mà \(A B+A \mathrm{D}=\frac{36}{2}=18(\mathrm{~cm})\).
Suy ra \(A B+2 A B=18\)
Hay \(3 \mathrm{AB}=18\)
Do đó \(A B=6(\mathrm{~cm})\).
Suy ra \(A D=2 A B=2 . 6=12(\mathrm{~cm})\).
Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật \(A B C D\) là \(A B=C D=6 \mathrm{~cm}\); \(A D=\) \(B C=12 \mathrm{~cm}\).