Bài 13: Hình chữ nhật

Tứ giác \(A B C D\) trong Hình \(3.41 \mathrm{~b}\) là hình chữ nhật vì có
\(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}\)
Tứ giác \(A B C D\) trong Hình 3.41 a và Hình \(3.41 c\) không phải là hình chữ nhật vì không có 4 góc vuông.

Ta đặt hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

Vì ABCD là hình chữ nhật .

Ta có: AB ⊥ AD; AB ⊥ BC suy ra AD // BC.

AB ⊥ AD; CD ⊥ AD suy ra AB // CD.

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC; AB // CD

Suy ra ABCD cũng là hình bình hành.

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD suy ra ABCD cũng là hình thang.

Hình thang ABCD có .

Do đó ABCD cũng là hình thang cân.

Vì ABCD vừa là hình bình hành vừa là hình thang cân nên có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vì ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra OA = OB = OC = OD.

Xét tam giác OCD cân tại O (vì OC = OD) có OH là đường cao nên OH cũng là đường trung tuyến.

Do đó CH = DH.

Vậy H là trung điểm của DC.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(\widehat{A}=\widehat{C} ; \widehat{B}=\widehat{D}\)
Suy ra \(\widehat{A}=\widehat{C}=90^{\circ}\)
Ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}\)
\(90^{\circ}+\widehat{B}+90^{\circ}+\widehat{B}=360^{\circ}\)
\(2 \widehat{B}+180^{\circ}=360^{\circ}\)
Suy ra \(2 \widehat{B}=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}\)
Mà \(\widehat{B}=\widehat{D}\) nên \(\widehat{B}=\widehat{D}=90^{\circ}\)
Do đó \(\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}\)
Tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành vì \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}\)

Tứ giác \(A B C D\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường nên tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) là hình bình hành.
Hình bình hành \(\mathrm{ABCD}\) là có \(\widehat{A}=90^{\circ}\)
Do đó, tứ giác \(A B C D\) là hình chữ nhật.

Hai đầu mút của hai thanh tre tạo thành bốn đỉnh của tứ giác.

Tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác đó là hình chữ nhật.

Vậy khi các đầu mút của hai thanh tre đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

Dùng ê ke kiểm tra bốn góc của tứ giác đó:

• Nếu bốn góc của tứ giác đều là góc vuông thì tứ giác đó là hình chữ nhật;

• Nếu bốn góc của tứ giác có ít nhất một góc không vuông thì tứ giác đó không là hình chữ nhật.

Giải thích: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Ta kiểm tra xem các cặp đối của tứ giác:

• Nếu các cặp cạnh đối không bằng nhau thì tứ giác đó không là hình bình hành nên cũng không là hình chữ nhật.

• Nếu các cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

Sau đó ta kiểm tra xem hai đường chéo của tứ giác (là hình bình hành) đó.

• Nếu hai đường chéo của hình bình hành đó bằng nhau thì tứ giác đó là hình chữ nhật.

• Nếu hai đường chéo của hình bình hành đó không bằng nhau thì tứ giác đó không là hình chữ nhật.

Theo đề bài, \(\mathrm{M}\) là trung điểm của \(\mathrm{AC}, \mathrm{N}\) là điểm sao cho \(\mathrm{M}\) là trung điểm của HN.

Nên tứ giác \(\mathrm{ANCH}\) có hai đường chéo \(\mathrm{AC}\) và \(\mathrm{HN}\) cắt nhau tại trung điểm \(\mathrm{M}\) của mỗi đường.
Suy ra tứ giác \(\mathrm{ANCH}\) là hình bình hành.
Hình bình hành \(\mathrm{ANCH}\) có \(\widehat{A H C}=90^{\circ}\) nên tứ giác \(\mathrm{ANCH}\) là hình chữ nhật.

a) Tứ giác MPAN có: \(\widehat{N A P}=\widehat{A P M}=\widehat{M N A}=90^{\circ}\)
Do đó tứ giác MPAN là hình chữ nhật.
b) Vi tứ giác MPAN là hình chữ nhật có hai đường chéo \(\mathrm{AM}\) và \(\mathrm{NP}\) nên \(A M=N P\).

Để đoạn thẳng \(\mathrm{NP}\) có độ dài ngắn nhất thì \(\mathrm{AM}\) có độ dài ngắn nhất.
Khi đó, \(\mathrm{MH}\) là đường vuông góc kẻ từ \(\mathrm{A}\) đến đoạn thẳng \(\mathrm{BC}\) hay \(\mathrm{AM}\) là đường cao của tam giác \(\mathrm{ABC}\).

Mà tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(A\) nên \(A M\) cũng là đường trung tuyến.
Do đó \(\mathrm{M}\) là trung điểm của \(\mathrm{BC}\).
Vậy \(\mathrm{M}\) là trung điểm của đoạn thẳng \(\mathrm{BC}\) thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất.