Bài 12: Hình bình hành

Tứ giác trong Hình 3.28c là hình bình hành vì:

Ta so sánh độ dài các cạnh đối trong tứ giác bằng cách đếm số ô vuông trong hình.

Ta thấy AB = CD; AD = BC.

Giả sử hình bình hành \(A B C D\) có \(A D=3 \mathrm{~cm}, A B=4 \mathrm{~cm}\) và \(\widehat{B A D}=60^{\circ}\)
Cách vẽ:
- Vẽ cạnh \(A B=4 \mathrm{~cm}\).
- Vẽ \(\widehat{\mathrm{BAx}}=60^{\circ}\). Trên tia \(\mathrm{Ax}\) lấy điểm \(\mathrm{D}\) sao cho \(\mathrm{AD}=3 \mathrm{~cm}\).
- Kẻ By // AD, Dz // BC. Hai tia By và Dz cắt nhau tại \(C\), ta được hình bình hành \(A B C D\).
Hình vẽ được là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song ( \(A B\) // \(C D, A D\) // \(B C)\).

Các tính chất của hình bình hành mà em đã biết:

- Hai cặp cạnh đối song song.

- Hai cặp cạnh đối bằng nhau.

a) Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B / / C D ; A D\) // \(B C\).
Suy ra \(\widehat{B A C}=\widehat{A C D} ; \widehat{B C A}=\widehat{D A C}\) (hai góc so le trong).
Xét \(\triangle \mathrm{ABC}\) và \(\triangle C D A\) có:
\(\widehat{B A C}=\widehat{A C D}\) (chứng minh trên);
Cạnh AC chung.
\(\widehat{B C A}=\widehat{D A C}\) (chứng minh trên);
Do đó \(\triangle A B C=\triangle C D A\) (g.c.g).
Suy ra \(\mathrm{AB}=\mathrm{CD}, \mathrm{AD}=\mathrm{BC}\) (các cặp cạnh tương ứng); \(\widehat{A B C}=\widehat{C \mathrm{DA}}\) (hai góc tương ứng).
b) Xét \(\triangle A B D\) và \(\triangle C D B\) có:
\(A B=C D\) (chứng minh trên);
\(\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\) (chứng minh trên);
Cạnh BD chung.
Do đó \(\triangle \mathrm{ABD}=\triangle \mathrm{CDB}\).
Suy ra \(\widehat{D A B}=\widehat{B C D}\) (hai góc tương ứng).
c) Xét \(\triangle A O B\) và \(\triangle C O D\) có:
\(\widehat{B A C}=\widehat{A C D}\) (chứng minh trên);
\(\mathrm{AB}=\mathrm{CD}\) (chứng minh trên);
\(\widehat{B C A}=\widehat{D A C}\) (chứng minh trên);
Do đó \(\triangle \mathrm{AOB}=\triangle \mathrm{COD}\) (g.c.g).
Suy ra \(\mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OB}=\mathrm{OD}\) (các cặp cạnh tương ứng).

Xét tứ giác APMN có:

• MN // AP (vì MN // AB)

• MP // AN (vì MP // AC)

Do đó tứ giác APMN là hình bình hành.

Hình bình hành APMN có I là trung điểm của đoạn AP.

Do đó I là trung điểm của đoạn thẳng AM (đpcm).

Khẳng định của bạn Vuông là đúng.

Trường hợp 1: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song với nhau thì hình thang đó là hình thang cân.

Hình minh họa:

Trường hợp 2: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau và song song với nhau thì hình thang đó là hình bình hành.

Hình minh họa:

Giả thiết, kết luận của Định lí 2:

a) 

b) 

a) Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B\) // \(C D\) hay \(B E\) // \(D F\).
Vì DE là tia phân giác của \(\widehat{A D C}\) nên \(\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\)
Mà \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\left(\mathrm{BE} / / \mathrm{DF}\right.\), hai góc so le trong) nên \(\widehat{D_2}=\widehat{E_1}\)
Suy ra tam giác ADE cân tại \(A\).
Tương tự ta cũng chứng minh được: tam giác BCF cân tại C.
Vì \(\mathrm{ABCD}\) là hình bình hành nên \(\mathrm{AD}=\mathrm{BC} ; \widehat{A}=\widehat{C} ; \widehat{A D C}=\widehat{A B C}\).
Vì \(A E\) là tia phân giác \(\widehat{A D C}\); BF là tia phân giác \(\widehat{A B C}\) nên
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2} ; \widehat{D_1}=\widehat{D_2}\) mà \(\widehat{A D C}=\widehat{A B C}\)
Do đó \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\)
Xét \(\triangle \mathrm{ADE}\) và \(\triangle \mathrm{CBF}\) có:
\(\widehat{A}=\widehat{C}\) (chứng minh trên);
\(\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\) (chứng minh trên);
\(\widehat{B_2}=\widehat{D_2}\) (chứng minh trên).
Do đó \(\triangle \mathrm{ADE}=\triangle \mathrm{CBF}\) (g.c.g).
b) Vì \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{D_1}=\widehat{D_2}\) mà \(\widehat{B_2}=\widehat{F_1}\) (vì tam giác BCF cân tại C)
Suy ra \(\widehat{D_1}=\widehat{F_1}\) (hai góc đồng vị).
Do đó \(\mathrm{DE} / / \mathrm{BF}\).
Tứ giác BEDF có:
\(\mathrm{BE} / / \mathrm{DF}\) (chứng minh trên);
\(\mathrm{DE} / / \mathrm{BF}\) (chứng minh trên).
Do đó, tứ giác BEDF là hình bình hành.

Đoạn dây xích được chia thành:

• Hai đoạn dài có độ dài bằng nhau, tức là AB = CD;

• Hai đoạn ngắn có độ dài bằng nhau, tức là AD = BC.

Tứ giác ABCD có AB = CD; AD = BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giả thiết, kết luận của Định lí 3:

Ta hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB.

Mà O là trung điểm của AA’, BB’ nên O là trung điểm của hai đường chéo của tứ giác ABA’B’.

Do đó tứ giác ABA’B’ là hình bình hành.

Gọi điểm giao nhau giữa hai đường thẳng a và b là điểm O

- Vẽ tia Ax đi qua điểm O. Trên tia Ax lấy điểm B sao cho OA = OB.

- Qua B vẽ tia By // Ab; Bz // Aa cắt hai tia Aa và Bb lần lượt tại hai điểm C và D.

Khi đó, tứ giác ACBD là hình bình hành (vì AC // BD; AD // BC) có O là trung điểm AB nên O là trung điểm của CD.

Hai đoạn đường từ điểm O đến con đường a và b bằng nhau, tức là OC = OD.

Vậy con đường cần mở đường thẳng đi qua hai điểm C và D.

a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành là khẳng định đúng vì khi đó tứ giác có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân hoặc hình bình hành.

Vậy khẳng định b) sai.

c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song hay có hai cặp cạnh đối song song nên

tứ giác đó là hình bình hành.

Vậy khẳng định c) đúng.

Vì \(\mathrm{ABCD}\) là hình bình hành nên: \(\widehat{A}=\widehat{C} ; \widehat{B}=\widehat{D}\) ta có:

\(\widehat{A}=\widehat{C}=100^{\circ}\)

\( \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ} \)

\(100^{\circ}+\widehat{B}+100^{\circ}+\widehat{B}=360^{\circ} \)
\(2 \widehat{B}+200^{\circ}=360^{\circ}\)
Suy ra: \(2 \widehat{B}=360^{\circ}-200^{\circ}=160^{\circ}\)
Do đó: \(\widehat{B}=80^{\circ}\) suy ra: \(\widehat{B}=\widehat{D}=80^{\circ}\)
Vậy các góc của hình bình hành \(\mathrm{ABCD}\) là: \(\widehat{A}=100^{\circ} ; \widehat{C}=100^{\circ} ; \widehat{B}=80^{\circ} ; \widehat{D}=80^{\circ}\)

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE, CF = DF.

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác BEDF có:

BE = DF (chứng minh trên);

BE // DF (vì AB // CD)

Do đó tứ giác BEDF là hình bình hành.

Suy ra BF = DE (đpcm).

* Hình 3.36 a)
Xét tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}\)
\(100^{\circ}+80^{\circ}+100^{\circ}+\widehat{D}=360^{\circ}\)
\(280^{\circ}+\widehat{D}=360^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{D}=360^{\circ}-280^{\circ}=80^{\circ}\)
Tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có: \(\widehat{A}=\widehat{C}=100^{\circ} ; \widehat{B}=\widehat{D}=80^{\circ}\)
Do đó, tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành.
* Hình 3.36 b)
Xét tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}\)
\(75^{\circ}+\widehat{B}+75^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ}\)
\(240^{\circ}+\widehat{B}=360^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{B}=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}\)
Tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có: \(\widehat{A}=\widehat{C}=100^{\circ}\) nhưng \(\widehat{B} \neq \widehat{D}\left(80^{\circ} \neq 90^{\circ}\right)\)
Do đó, tứ giác \(A B C D\) không là hình bình hành.
* Hình 3.36c)
Xét tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}\)
\(70^{\circ}+110^{\circ}+\widehat{C}+110^{\circ}=360^{\circ}\)
\(\widehat{C}+290^{\circ}=360^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{C}=360^{\circ}-290^{\circ}=70^{\circ}\)
Tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có: \(\widehat{A}=\widehat{C}=70^{\circ} ; \widehat{B}=\widehat{D}=110^{\circ}\)
Do đó, tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành.
Vậy tứ giác \(A B C D\) trong Hình 3.36a) và 3.36c) là hình bình hành; tứ giác \(A B C D\) trong Hình 3.36b) không là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE, CF = DF.

Do đó AE = BE = CF = DF.

• Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (vì AB // CD);

AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

• Xét tứ giác AECF có:

AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên ta có:
- Hai đường chéo \(\mathrm{AC}\) và \(\mathrm{BD}\) cắt nhau tại \(\mathrm{O}\) nên \(\mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OB}=\mathrm{OD}\).
- \(A B\) // CD nên AM // CN suy ra \(\widehat{O A M}=\widehat{O C N}\) (hai góc so le trong).
Xét \(\triangle \mathrm{OAM}\) và \(\triangle \mathrm{OCN}\) có:
\(\widehat{O A M}=\widehat{O C N}\) (chứng minh trên)
\(\mathrm{OA}=\mathrm{OC}\) (chứng minh trên)
\(\widehat{A O M}=\widehat{C O N}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó \(\triangle \mathrm{OAM}=\triangle \mathrm{OCN}\) (g.c.g).
Suy ra \(\mathrm{AM}=\mathrm{CN}\) (hai cạnh tương ứng)
Mặt khác, \(A B=C D\) (chứng minh trên); \(A B=A M+B M ; C D=C N+D N\).
Suy ra \(\mathrm{BM}=\mathrm{DN}\).
Xét tứ giác MBND có:
- BM // DN (vì AB // CD)
- BM = DN (chứng minh trên)
Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.