Bài 11: Hình thang cân

Hình thang cân \(A B C D(A B / / C D)\) nên ta có:
\(\begin{aligned}\widehat{A}=\widehat{B} ; \widehat{C}=\widehat{D}=40^{\circ} \\ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}\end{aligned}\)
Khi đó: \(\widehat{A}+\widehat{A}+40^{\circ}+40^{\circ}=360^{\circ}\)
Hay: \(2 \widehat{A}+80^{\circ}=360^{\circ}\)
Suy ra: \(2 \widehat{A}=360^{\circ}-80^{\circ}=280^{\circ}\)
Do đó: \(\widehat{A}=140^{\circ}\) nên \(\widehat{B}=140^{\circ}\)
Vậy: \(\widehat{A}=140^{\circ} ; \widehat{B}=140^{\circ} ; \widehat{C}=40^{\circ} ; \widehat{D}=40^{\circ}\)

a) Vì \(A B C D\) là hình thang cân \((A B / / C D)\) nên \(\widehat{B A I}=\widehat{A I H}\) (hai góc so le trong). Ta có \(\mathrm{AH} \perp \mathrm{DC}, \mathrm{BI} \perp \mathrm{DC}\) suy ra \(\mathrm{AH} / / \mathrm{BI}\).
Do đó \(\widehat{A I B}=\widehat{H A I}\) (hai góc so le trong).
Xét \(\triangle \mathrm{AHI}\) và \(\triangle \mathrm{IBA}\) có:
\(\widehat{B A I}=\widehat{A I H}\) (chứng minh trên);
Cạnh Al chung;
\(\widehat{A I B}=\widehat{H A I}\) (hai góc so le trong).
Do đó \(\triangle \mathrm{AHI}=\triangle \mathrm{IBA}\) (c.g.c).
Suy ra \(\mathrm{AH}=\mathrm{BI}\) (hai cạnh tương ứng).
b) Vì \(A B C D\) là hình thang cân \((A C / / C D)\) nên \(\widehat{C}=\widehat{D}\).
Vì \(\triangle \mathrm{AHD}\) và \(\triangle \mathrm{BIC}\) có:
\(\widehat{A H D}=\widehat{B I C}=90^{\circ}\) và \(\widehat{C}=\widehat{D}\) nên \(90^{\circ}-\widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{B I C} \Leftrightarrow \widehat{D A H}=\widehat{C B I}\)
Xét \(\triangle \mathrm{AHD}\) và \(\triangle \mathrm{BIC}\) có:

\(\widehat{A H D}=\widehat{B I C}=90^{\circ}\)(vì \( \mathrm{AH} \perp \mathrm{DC}, \mathrm{BI} \perp \mathrm{DC}, \mathrm{H} \in \mathrm{CD}, \mathrm{I} \in \mathrm{CD})\)

\(A H=B I\) (chứng minh trên)

\(\widehat{D A H}=\widehat{C B I}\) (chứng minh trên)
\(A H=B I\) (chứng minh trên
\(\widehat{D A H}=\widehat{C B I}\) (chứng minh trên).
Do đó \(\triangle \mathrm{AHD}=\triangle \mathrm{BIC}\) (góc - cạnh - góc).
Suy ra \(A D=B C\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(\widehat{A}=\widehat{D_1}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}\).
Suy ra tứ giác \(A B C D\) là hình thang.
Mặt khác hình thang \(A B C D\) có \(\widehat{A}=\widehat{B}\) nên \(A B C D\) là hình thang cân.
Do đó AB = BC (đpcm).

Vì \(\mathrm{ABCD}\) là hình thang cân \((\mathrm{AC} / / \mathrm{CD})\) nên \(\mathrm{AD}=\mathrm{BC} ; \widehat{A D C}=\widehat{B C D}\)
Xét \(\triangle A C D\) và \(\triangle B D C\) có
\(\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\) (chứng minh trên);
\(\widehat{A D C}=\widehat{B C D}\) (chứng minh trên);
Cạnh CD chung.
Do đó \(\triangle A C D=\triangle B D C\) (c.g.c).
Suy ra \(\mathrm{AC}=\mathrm{BD}\) (hai góc tương ứng).

a) Theo đề bài: \(d / / B C\) nên \(D E / / B C\)
Suy ra DECB là hình thang.
Vì tam giác \(\mathrm{ABC}\) cân tại A nên \(\widehat{B}=\widehat{C}\).
Hình thang \(\mathrm{DECB}\) có \(\widehat{B}=\widehat{C}\) nên tứ giác \(\mathrm{DECB}\) là hình thang cân.
b) Hình thang cân \(\mathrm{DECB}\) có \(\mathrm{BE}\) và \(\mathrm{CD}\) là hai đường chéo.
Do đó \(B E=C D(đ p c m)\).

a) Học sinh vẽ hình theo các bước đã nêu ở đề bài.

b) Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD.

Do đó ABCD là hình thang cân.

Ta cắt một mảnh giấy hình thang cân \(\mathrm{ABCD}\) bằng một nhát thẳng cắt cả hai cạnh đáy.
Lật hình thang \(A M N D\) rồi ghép với hình thang \(M B C N\) dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu, khi đó ta được một hình mới. Tứ giác \(A B C D\) là hình thang cân nên \(A B / / C D\) suy ra \(M N^{\prime} / / M^{\prime} N\).
Do đó MN'M'N là hình thang.
Vì AB // CD nên \(\widehat{A M N}=\widehat{M N C}\) (2 góc so le trong)
Mà \(\widehat{A M N}=C \widehat{M}^{\prime} N^{\prime}\) (theo giả thiết)
\(\Rightarrow \widehat{M N C}=\widehat{C M^{\prime} N}\)
Mà hai góc này là hai góc kề một đáy nên suy ra MN'M'N là hình thang cân.

Để hình thang \(\mathrm{ABCD}\) là hình thang cân thì \(\widehat{A}=\widehat{B}=120^{\circ} ; \widehat{C}=\widehat{D}=80^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=120^{\circ}+120^{\circ}+80^{\circ}+80^{\circ}=400^{\circ}>360^{\circ}\) (không thỏa mãn định lí tổng bốn góc trong một tứ giác).
Khi đó, \(A B C D\) không phải là tứ giác.
Do đó \(A B C D\) cũng không phải là hình thang cân.

Gọi O là giao điểm của \(A C\) và \(B D\).

Xét \(\triangle \mathrm{DOE}\) và \(\triangle \mathrm{COE}\) có:

\(\widehat{O D E}=\widehat{O C E}=90^{\circ}\) (vì \(\mathrm{OD} \perp \mathrm{DE} ; \mathrm{OC} \perp \mathrm{CE})\)

\(\mathrm{EC}=\mathrm{ED}\) (giả thuyết)
Cạnh OE chung
Do đó \(\triangle \mathrm{DOE}=\triangle \mathrm{COE}\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra \(O C=O D\) (hai cạnh tương ứng).
Do đó tam giác OCD cân tại O nên \(\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\)
Vì \(A B C D\) là hình thang nên \(A B / / C D\) suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{C_1} ; \widehat{B_1}=\widehat{D_1}\) (cặp góc so le trong).
Do đó \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\) (vì \(\widehat{C_1}=\widehat{D_1}\) )
Suy ra tam giác \(O A B\) cân tại \(O\) nên \(O A=O B\).
Do \(O A=O B, O C=O D\) nên \(O A+O C=O B+O D\) nên \(A C=B D\)
Nên ABCD là hình thang cân theo dấu hiệu nhận biết "nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân".

Cách vẽ hình thang cân ABCD có đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm:

- Vẽ cạnh CD = 4 cm.

- Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 2 cm) và (C; 3 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm A.

- Dùng compa vẽ hai đường tròn (C; 3 cm) và (D; 2 cm). Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm B.

- Nối AB, AD, BC ta được hình thang ABCD (như hình vẽ).

Vì \(A B C D\) là hình thang cân nên \(\widehat{D A B}=\widehat{A B C} ; \widehat{C}=\widehat{D} ; A \mathrm{D}=B C\) 

Theo đề bài, ta có \(\mathrm{AE}, \mathrm{BE}\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{B A D}\) và \(\widehat{A B C}\) Suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2} ; \widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)
Mà \(\widehat{D A B}=\widehat{A B C}\) nên \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)
Xét \(\triangle A D E\) và \(\triangle B C E\) có:
\(\widehat{A_2}=\widehat{B_2}\) (chứng minh trên)
\(\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\) (chứng minh trên)
\(\widehat{D}=\widehat{C}\) (chứng minh trên)
Do đó \(\triangle \mathrm{ADE}=\triangle \mathrm{BCE}\) (g.c.g).
Suy ra \(\mathrm{EC}=\mathrm{ED}\) (hai cạnh tương ứng).

Gọi O là giao điểm của \(A B\) và IJ.
Vì \(A B C D\) là hình thang cân nên
\(\widehat{B A D}=\widehat{A B C} ; \widehat{A D C}=\widehat{B C D} ; A \mathrm{D}=B C\)
Tam giác ICD cân tại I (vì \(\widehat{A D C}=\widehat{B C D}\) ) nên IC = ID.
vi \(\widehat{A D C}=\widehat{B C D} ; \widehat{A D B}=\widehat{B C A}\) nên \(\widehat{J D C}=\widehat{J C D}\)
Tam giác JCD cân tại J (vì \(\widehat{J D C}=\widehat{J C D}\) ) nên JC = JD.
Xét \(\triangle I J D\) và \(\triangle I J C\) có:
IC = ID (chứng minh trên);
\(\widehat{A \mathrm{DB}}=\widehat{B C A}\);
\(\mathrm{JC}=\mathrm{JD}\) (chứng minh trên).
Do đó \(\Delta \mathrm{JJD}=\Delta \mathrm{JJC}\) (c.g.c).
Suy ra \(\widehat{D I J}=\widehat{C I J}\) (hai góc tương ứng).
Ta có ID = IC, \(A D=B C\).
Mà \(I D=A I+A D ; I C=I B+B C\) nên \(I A=I B\).
Tam giác IAB cân tại I (vì IA = IB) có IO là tia phân giác \(\widehat{A I B}\)
Suy ra IO là đường trung trực của đoạn thẳng \(\mathrm{AB}\).
Vậy đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng \(\mathrm{AB}\).