Cho tam giác ABC có: \(\widehat A = 42^\circ ,\widehat B = 37^\circ\).
a) Tính \(\widehat C\).
b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.
Gợi ý
a) Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180°.
b) Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn.
Đáp án
a) Trong tam giác ABC: \(\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 180^\circ - 42^\circ - 37^\circ = 101^\circ\).
b) Trong tam giác ABC: \(\widehat B < \widehat A < \widehat C\)nên \(AC < BC < AB\). (Vì AC đối diện với góc B; BC đối diện với góc A; AB đối diện với góc C).
Bài tập 2
119
Tìm các số đo x, y trong Hình 140.
Gợi ý
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.
Trong tam giác đều, ba góc có số đo bằng nhau và bằng 60°.
Đáp án
Tam giác ABO là tam giác đều nên \(\widehat {ABO} = \widehat {AOB} = \widehat {BAO} = 60^\circ \). Vậy \(x = 60^\circ \).
Ba điểm B, O, C thẳng hàng nên \(\widehat {BOC} = 180^\circ \). Mà \(\widehat {AOB} = 60^\circ \)nên \(\widehat {AOC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Xét tam giác AOC có OA = OC. Vậy tam giác AOC cân tại O nên \(\widehat{OAC} = \widehat{OCA} =\dfrac{1}{2}. (180^0-\widehat{AOC})= \dfrac{1}{2}.(180^\circ - 120^\circ ) = 30^\circ \)
Hay \(y = 30^\circ \).
Vậy \(x = 60^\circ \); \(y = 30^\circ \).
Bài tập 3
119
Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ hai đi từ B đến A (Hình 141). Theo em, đường nào đi dài hơn? Vì sao?
Gợi ý
Trong một tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Đáp án
Xét tam giác ABC có: \(AC + CB > AB\).
Vậy nên bạn Hoa đi đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B sẽ dài hơn đi đường thứ hai đi từ B đến A.
Bài tập 4
119
Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh AI = MK.
Gợi ý
Chứng minh AI = MK bằng cách chứng hai tam giác ABI và MNK bằng nhau.
Đáp án
Hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM nên \(\Delta ABC = \Delta MNP\)(c.c.c)
Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K (Hình 143). Chứng minh AI // EK.
Gợi ý
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Đáp án
Ta có:
I là giao điểm của hai đường cao BM, CN trong tam giác ABC. Suy ra I là trực tâm của tam giác ABC. Vậy \(AI \bot BC\). (1)
K là giao điểm của hai đường cao DQ, CP trong tam giác CED. Suy ra K là trực tâm của tam giác CED.
Vậy \(EK \bot CD\). (2)
Mà ba điểm B, C, D thẳng hàng. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AI // EK.
Bài tập 8
120
Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144). Chứng minh:
a)\(\Delta OMA = \Delta OMB\) và tia MO là tia phân giác của góc NMP;
b) O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác MNP.
Gợi ý
a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
b) Chứng minh dựa vào kết quả của phần a).
Đáp án
a) O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên O cách đều ba đỉnh của tam giác đó hay OA = OB = OC.
Vậy MO là tia phân giác của góc BMA hay MO là tia phân giác của góc NMP (ba điểm M, A, P thẳng hàng và ba điểm M, B, N thẳng hàng).
b) MO là tia phân giác của góc NMP.
Tương tự ta có:
NO là tia phân giác của góc MNP.
PO là tia phân giác của góc MPN.
Vậy O là giao điểm của ba đường phân giác MO, NO, PO của tam giác MNP.
Bài tập 9
120
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng;
b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.
Gợi ý
a) Trong tam giác cân: đường trung tuyến tại đỉnh cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc tại đỉnh đó.
b) Chứng minh tam giác ABC cân tại A, ta chứng minh AB = AC hoặc góc B bằng góc C.
Đáp án
a)
Trong tam giác ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến.
Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:
AB = AC (tam giác ABC cân);
AD chung;
BD = DC (D là trung điểm của BC).
Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\)(c.c.c.). Suy ra: \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ\) (vì ba điểm B, D, C thẳng hàng); \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).
Vậy AD là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc A.
Suy ra: AD là đường trung trực của tam giác ABC.
Vậy AD là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác ABC.
Mà G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực nên A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.
b)
Ta có: \(AD \bot BC\).
H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, D thẳng hàng.
Mà A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.
Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC (Vì AI là tia phân giác của góc BAC).
\(\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).
Do đó, tam giác ABC cân tại A
Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.
Bài tập 10
120
Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình?
Gợi ý
Vẽ giao điểm của hai đường cao từ đỉnh B, C rồi lấy giao điểm và từ giao điểm đó vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC tại D.
Đáp án
Trong tam giác, đường có độ dài ngắn nhất luôn là đường cao (đường vuông góc).
Vậy: khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất khi \(AD \bot BC\).
Bước 1: Vẽ hai đường cao hạ từ đỉnh B và C.
Bước 2: Gọi H là giao điểm của hai đường cao.
Bước 3: Vẽ đường cao hạ từ H xuống BC. Và giao điểm của đường cao hạ từ H với đoạn thẳng BC là điểm D ta cần tìm.
Bài tập 11
120
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Khi đó
A.\(AM = 2GM\).
B.\(AM = 2AG\).
C.\(GA = 3GM\).
D.\(GA = 2GM\).
Gợi ý
Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm của tam giác bằng \(\dfrac{2}{3}\) khoảng cách từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó.
Đáp án
Đáp án: D. \(GA = 2GM\).
Bài tập 12
120
Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {BAC} = 40^\circ\). Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Khi đó
A.\(OA = OB = AB\).
B.\(OA = OB = OC\).
C.\(OB = OC = BC\).
D.\(OC = OA = AC\).
Gợi ý
Trong một tam giác: giao điểm của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Đáp án
Đáp án: B. \(OA = OB = OC\).
Bài tập 13
120
Cho tam giác ABC có BC > AC, I là giao điểm của hai đường phân giác góc A và góc B. Khi đó
A.\(\widehat {ICA} = \widehat {ICB}\).
B.\(\widehat {IAC} = \widehat {IBC}\).
C.\(\widehat {ICA} > \widehat {ICB}\).
D.\(\widehat {ICA} < \widehat {IBC}\).
Gợi ý
Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm.
Đáp án
Ta có: I là giao điểm của hai đường phân giác góc A và góc B nên suy ra: CI là đường phân giác của góc C.
Vậy \(\widehat {ICA} = \widehat {ICB}\) ( tính chất tia phân giác của một góc).
Đáp án: A. \(\widehat {ICA} = \widehat {ICB}\).
Bài tập 14
120
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Hai đường cao AD và CE cắt nhau tại H. Khi đó
A.\(\widehat {HAB} = \widehat {HAC}\).
B.\(\widehat {HAB} > \widehat {HAC}\).
C.\(\widehat {HAB} = \widehat {HCB}\).
D.\(\widehat {HAC} = \widehat {BAC}\).
Gợi ý
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.
Đáp án
Ta có: AB < AC nên \(\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\) (góc ACB đối diện với cạnh AB; góc ABC đối diện với cạnh AC)
Mà tam giác ADB và tam giác ADC đều vuông tại D.
Vì tổng hai góc nhọn trong một tam giác vuông bằng 90°.
