Bài tập cuối chương II

Vì \(-6,123(456)\) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên không là số vô tỉ

\(- \sqrt 4  =  - 2\) không là số vô tỉ

\(\sqrt {\frac{4}{9}}  = \frac{2}{3}\) không là số vô tỉ

\(\sqrt {11}\) là số vô tỉ vì không thể viết được dưới dạng \(\dfrac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0)\)

\(\sqrt {15}\) là số vô tỉ vì không thể viết được dưới dạng \(\dfrac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0)\)

Vậy trong các số trên có \(\sqrt {11};\sqrt {15}\) là số vô tỉ

Chú ý:

Căn bậc hai của một số nguyên tố luôn là số vô tỉ

a) 4,9(18) = 4,91818…< 4,928… (vì chữ số hàng phần trăm của 4,91818 là 1 nhỏ hơn chữ số hàng phần trăm của 4,928 là 2)

Vậy 4,9(18) < 4,928

b) Vì 4,315 < 4,318… nên -4,315 > -4,318…

c) Vì 3 < \(\frac{7}{2}\) nên \(\sqrt 3\) < \(\sqrt {\frac{7}{2}}\)

a) Ta có:

\(6 = \sqrt {36} ; - 1,7 =  - \sqrt {2,89}\)

Vì 0 < 2,89 < 3 nên 0> \(- \sqrt {2,89}  >  - \sqrt 3\) hay 0 > -1,7 > \(- \sqrt 3\)

Vì 0 < 35 < 36 < 47  nên \(0 < \sqrt {35}  < \sqrt {36}  < \sqrt {47}\) hay 0 < \(\sqrt {35}  < 6 < \sqrt {47}\)

Vậy các số theo thứ tự tăng dần là: \(- \sqrt 3 ; - 1,7;0;\sqrt {35} ;6;\sqrt {47}\)

b) Ta có:

\(\sqrt {5\frac{1}{6}}  = \sqrt {5,1(6)} ; - \sqrt {2\frac{1}{3}}  =  - \sqrt {2,(3)}\); -1,5 = \(- \sqrt {2,25}\)

Vì 0 < 2,25 < 2,3 < 2,(3) nên 0> \(- \sqrt {2,25}  >  - \sqrt {2,3}  >  - \sqrt {2,(3)}\) hay 0 > -1,5 > \(- \sqrt {2,3}  >  - \sqrt {2\frac{1}{3}}\)

Vì 5,3 > 5,1(6) > 0 nên \(\sqrt {5,3}  > \sqrt {5,1(6)}\)> 0 hay \(\sqrt {5,3}  > \sqrt {5\frac{1}{6}}  > 0\)

Vậy các số theo thứ tự giảm dần là: \(\sqrt {5,3} ;\sqrt {5\frac{1}{6}} ;0\); -1,5; \(- \sqrt {2,3} ; - \sqrt {2\frac{1}{3}}\)

\(a)2.\sqrt 6 .( - \sqrt 6 )\)

\(=  - 2.\sqrt 6 .\sqrt 6\)

\(=  - 2.{(\sqrt 6 )^2}\)

\(=  - 2.6\)

\(=-12\)

\( b)\sqrt {1,44}  - 2.{(\sqrt {0,6} )^2}\)

\( = 1,2 - 2.0,6\)

\(= 1,2 - 1,2\)

\(=0\)

\(c)0,1.{(\sqrt 7 )^2} + \sqrt {1,69} \)

\(= 0,1.7 + 1,3 \)

\(= 0,7 + 1,3\)

\(=2\)

\(d)( - 0,1).{(\sqrt {120} )^2} - \frac{1}{4}.{(\sqrt {20} )^2} \)

\(= ( - 0,1).120 - \frac{1}{4}.20\)

\(=  - 12 - 5\)

\(=  - (12 + 5)\)

\(=-17\)

\(\begin{array}{l}a)\sqrt x- 16 = 0\\\sqrt x= 16\\x = {16^2}\\x = 256\end{array}\)

Vậy x = 256

\(\begin{array}{l}b)2\sqrt x= 1,5\\\sqrt x= 1,5:2\\\sqrt x= 0.75\\x= {(0,75)^2}\\x= 0,5625\end{array}\)

Vậy x = 0,5625

\(\begin{array}{l}c)\sqrt {x + 4}- 0,6 = 2,4\\\sqrt {x + 4}= 2,4 + 0,6\\\sqrt {x + 4}= 3\\x + 4 = 9\\x = 5\end{array}\)

Vậy x = 5

\(\begin{array}{l}a)\frac{x}{{ - 3}} = \frac{7}{{0,75}}\\ \Rightarrow x.0,75 = ( - 3).7\\ \Rightarrow x = \frac{{( - 3).7}}{{0,75}} =- 28\end{array}\)

Vậy x = 28

\(\begin{array}{l}b) - 0,52:x = \sqrt {1,96} :( - 1,5)\\ - 0,52:x = 1,3:( - 1,5)\\ - 0,52:x =- 1,95\\x = ( - 0,52):( - 1,95)\\x = \frac{4}{{15}}\end{array}\)

Vậy x = \(\frac{4}{{15}}\)

\(\begin{array}{l}c)x:\sqrt 5  = \sqrt 5 :x\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{x}\\ \Rightarrow x.x = \sqrt 5 .\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow {x^2} = 5\\ \Leftrightarrow \left[ {_{x =  - \sqrt 5 }^{x = \sqrt 5 }} \right.\end{array}\)

Vậy x \(\in \{ \sqrt 5 ; - \sqrt 5 \}\)

Chú ý:

Nếu \({x^2} = a(a > 0)\) thì x = \(\sqrt a\) hoặc x = -\(\sqrt a\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\); \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + 2c}}{{b + 2d}}\)

Như vậy, \(\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{a + 2c}}{{b + 2d}}\) (đpcm)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{9} = \frac{{x - y + z}}{{5 - 7 + 9}} = \frac{{\frac{7}{3}}}{7} = \frac{7}{3}.\frac{1}{7} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow x = 5.\frac{1}{3} = \frac{5}{3};\\y = 7.\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\\z = 9.\frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{5}{3};y = \frac{7}{3};z = 3\)

Gọi số học sinh ở các mức Tốt, Khá, Đạt là x,y,z (\(x,y,z \in \mathbb{N}\))

Vì lớp 7A có 45 học sinh và không có học sinh nào ở mức Chưa đạt nên x+y+z =45

Vì số học sinh ở các mức Tốt, Khá, Đạt tỉ lệ với ba số 3;4;2 nên \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{2} = \frac{{x + y + z}}{{3 + 4 + 2}} = \frac{{45}}{9} = 5\\ \Rightarrow x = 3.5 = 15\\y = 4.5 = 20\\z = 2.5 = 10\end{array}\)

Vậy số học sinh ở các mức Tốt, Khá, Đạt lần lượt là: 15 bạn, 20 bạn và 10 bạn.

Gọi số táo mua được là x (kg) (x > 0).

Giả sử giá táo trước giảm giá là a thì giá táo sau khi giảm giá là a – 0,25a = 0,75a.

Vì số táo . giá táo = số tiền mua táo (không đổi) nên số táo và giá táo là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Áp dụng tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

3.a = x. 0,75a nên x = \(\frac{{3.a}}{{0,75.a}} = 4\) (thỏa mãn).

Vậy chị Phương mua được \(4\) kg táo.

Gọi số km mà chị Lan chạy được trong 1 giờ = 60 phút là x (km) (x > 0)

Vì vận tốc không đổi nên quãng đường và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:

\(\frac{{2,5}}{{15}} = \frac{x}{{60}} \Rightarrow x = \frac{{2,5.60}}{{15}} = 10\)(thoả mãn)

Vậy trong 1 giờ, chị Lan chạy được 10 km

Gọi thời gian cần thiết để người đó làm được 50 sản phẩm là x (phút) ( x > 0)

Vì năng suất làm việc không đổi thì thời gian và số sản phẩm làm được là 2 đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:

\(\frac{{30}}{{x}} = \frac{{20}}{50} \Rightarrow x = \frac{{30.50}}{{20}} = 75\) (thỏa mãn)

Vậy để người đó làm được 50 sản phẩm thì cần 75 phút.

Gọi số tiền Việt Nam cần có để đổi được 750 đô la Mỹ là x (đồng) (x >0)

Vì số tiền đô la Mỹ và số tiền Việt Nam quy đổi cho nhau là 2 đại lượng tỉ lệ thuận nên theo tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:

\(\frac{{1158000}}{{50}} = \frac{x}{{750}} \Rightarrow x = \frac{{1158000.750}}{{50}} = 17370000\) (thỏa mãn)

Vậy số tiền Việt Nam cần có để đổi được 750 đô la Mỹ là 17 370 000 đồng

Gọi thời gian dây chuyền cần để hoàn thành 1 000 sản phẩm là x (giờ) (x > 0)

Giả sử năng suất của tháng trước là a thì năng suất của tháng này là 1,2.a

Vì khối lượng công việc không đổi nên năng suất và thời gian hoàn thành là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên theo tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

6.a = x. 1,2a nên \(x = \frac{{6.a}}{{1,2.a}} = 5\) (thỏa mãn)

Vậy cần 5 giờ để dây chuyền hoàn thành 1 000 sản phẩm như thế

Gọi khối lượng của đồng và niken cần dùng để tạo ra 25 kg hợp kim đó là x, y (kg) (x,y > 0), ta có x + y = 25

Vì khối lượng của đồng và niken tỉ lệ với 9 và 11 nên \(\frac{x}{9} = \frac{y}{{11}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có

\(\begin{array}{l}\frac{x}{9} = \frac{y}{{11}} = \frac{{x + y}}{{9 + 11}} = \frac{{25}}{{20}} = 1,25\\ \Rightarrow x = 9.1,25 = 11,25\\y = 11.1,25 = 13,75\end{array}\)

Vậy cần 11,25 kg đồng và 13,75 kg niken

Gọi chiều dài 3 hình chữ nhật lần lượt là x,y,z (cm) (x,y,z > 0).

Do tổng chiều dài của ba hình chữ nhật là 110 cm nên x+y+z=110

Vì 3 hình chữ nhật có: chiều dài . chiều rộng = diện tích (không đổi) nên chiều rộng và chiều dài là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.

Áp dụng tính chất 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

1.x = 2.y = 3.z

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{1.x}}{6} = \frac{{2.y}}{6} = \frac{{3.z}}{6}\\ \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\end{array}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{6} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} = \frac{{x + y + z}}{{6 + 3 + 2}} = \frac{{110}}{{11}} = 10\\ \Rightarrow x = 6.10 = 60;\\y = 3.10 = 30;\\z = 2.10 = 20\end{array}\)

Vậy chiều dài của mỗi hình chữ nhật đó lần lượt là 60 cm, 30 cm, 20 cm.

Xét hình 9b, phần hộp không chứa sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là đáy của hộp sữa và chiều cao là 12 – 7 = 5 (cm)

Xét hình 9a, phần hộp chứa sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là đáy của hộp sữa và chiều cao là 6 cm.

Vì diện tích đáy không đổi thì thể tích và chiều cao của hình hộp là 2 đại lượng tỉ lệ thuận nên thể tích phần hộp không chứa sữa với phần hộp chứa sữa là tỉ lệ của chiều cao hình hộp không chứa sữa và chiều cao hình hộp có chứa sữa và là \(\frac{5}{6}\). Tức là thể tích phần hộp chứa sữa là 6 phần, phần không chứa sữa là 5 phần, thể tích cả hộp là: 5+6 = 11 phần

Như vậy, tỉ số của của thể tích sữa có trong hộp và thể tích của cả hộp là \(\frac{6}{{11}}\)