Bài 5: Phép chia đa thức một biến

Khởi động

Trong quá trình biến đổi và tính toán những biểu thức đại số, nhiều khi ta phải thực hiện phép chia một đa thức (một biến) cho một đa thức (một biến) khác, chẳng hạn ta cần thực hiện phép chia sau:

\(({x^3} + 1):({x^2} - x + 1)\)

Làm thế nào để thực hiện được phép chia một đa thức cho một đa thức khác?

Gợi ý

Đọc kĩ phần III. Chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Đáp án

Để thực hiện phép chia một đa thức cho một đa thức khác, ta làm như sau:

Bước 1:

- Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia.

- Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt tích dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột.

- Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

Bước 2: Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Hoạt động 1

Thực hiện phép tính:

a) \({x^5}:{x^3}\);

b) \((4{x^3}):{x^2}\);

c) \((a{x^m}):(b{x^n})\)(a ≠ 0; b ≠ 0; m, n \(\in\) N, m ≥ n).

Gợi ý

Muốn thực hiện những phép chia trên, ta lấy hệ số của đơn thức bị chia chia cho hệ số của đơn thức chia và lấy biến của đơn thức bị chia chia cho biến của đơn thức chia. Rồi nhân 2 kết quả đó với nhau.

\({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\)(m,n \(\in\) N, m ≥ n)

Đáp án

a) \({x^5}:{x^3} = {x^{5 - 3}} = {x^2}\);

b) \((4{x^3}):{x^2} = (4:1).({x^3}:{x^2}) = 4x\);

c) \((a{x^m}):(b{x^n}) = (a:b).({x^m}:{x^n}) = (a:b).{x^{m - n}}\)(a ≠ 0; b ≠ 0; m, n \(\in\) N, m ≥ n).

Luyện tập vận dụng 1

Tính:

a) \((3{x^6}):(0,5{x^4})\);

b) \(( - 12{x^{m + 2}}):(4{x^{n + 2}})\)(m, n \(\in\) N, m ≥ n).

Gợi ý

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (B ≠ 0) khi số mũ của biến trong A lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong B, ta làm như sau:

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B;

- Chia lũy thừa của biến trong A cho lũy thừa của biến đó trong B;

- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Đáp án

a) \((3{x^6}):(0,5{x^4}) = (3:0,5).({x^6}:{x^4}) = 6.{x^{6 - 4}} = 6{x^2}\);

b)\(( - 12{x^{m + 2}}):(4{x^{n + 2}}) = ( - 12:4).({x^{m + 2}}:{x^{n + 2}}) = - 3.{x^{m + 2 - n - 2}} = - 3.{x^{m - n}}\)(m, n \(\in\) N, m ≥ n).

Hoạt động 2

Ở Hình 6, diện tích các hình chữ nhật (I), (II) lần lượt là \(A = ac,B = bc\). Biết \(MN = c\).

a) Tính NP.

b) So sánh: \((A + B):c\) và \(A:c + B:c\).

Gợi ý

a) NP là độ dài của một cạnh hình chữ nhật. Để tính được NP ta phải tính được diện tích của hình chứa NP. Hoặc tính độ dài của hai cạnh hợp thành NP với diện tích của hình (I), (II) đã cho.

b) Thực hiện hai phép chia \((A + B):c\) và \(A:c + B:c\)rồi so sánh kết quả.

Đáp án

a) Ta có: Diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng diện tích hình chữ nhật (I) + diện tích hình chữ nhật (II)

\(= ac + bc = (a + b).c\).

Mà MN = c

Do đó NP = \((a + b).c:c = a + b\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}(A + B):c = (ac + bc):c = a + b\\A:c + B:c = ac:c + bc:c = a + b\end{array}\)

Vậy \((A + B):c\) =\(A:c + B:c\).

Hoạt động 3

Cho đa thức \(P(x) = 4{x^2} + 3x\) và đơn thức \(Q(x) = 2x\).

a) Hãy chia từng đơn thức (của biến x) có trong đa thức P(x) cho đơn thức Q(x).

b) Hãy cộng các thương vừa tìm được.

Gợi ý

a) Để chia từng đơn thức có trong đa thức P(x) cho đơn thức Q(x), trước hết ta phải xác định được các đơn thức có trong đa thức P(x) rồi thực hiện phép tính.

b) Cộng các thương vừa tìm được ở phần a) với nhau.

Đáp án

a) Các đơn thức có trong đa thức P(x) là: \(4{x^2};3x\).

Chia từng đơn thức (của biến x) có trong đa thức P(x) cho đơn thức Q(x) được kết quả lần lượt là:

\(4{x^2}:2x = (4:2).({x^2}:x) = 2x\).

\(3x:2x = (3:2).(x:x) = \dfrac{3}{2}\).

b) Cộng các thương vừa tìm được \(= 2x + \dfrac{3}{2}\).

Luyện tập vận dụng 2

Tính:

\((\dfrac{1}{2}{x^4} - \dfrac{1}{4}{x^3} + x):( - \dfrac{1}{8}x)\).

Gợi ý

Muốn chia đa thức P cho đơn thức Q (Q ≠ 0) khi số mũ của biến ở mỗi đơn thức của P lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong Q, ta chia mỗi đơn thức của P cho đơn thức Q rồi cộng các thương với nhau.

Đáp án

\((\dfrac{1}{2}{x^4} - \dfrac{1}{4}{x^3} + x):( - \dfrac{1}{8}x) = \dfrac{1}{2}{x^4}:( - \dfrac{1}{8}x) - \dfrac{1}{4}{x^3}:( - \dfrac{1}{8}x) + x:( - \dfrac{1}{8}x)\)

\(= (\dfrac{1}{2}: - \dfrac{1}{8}).({x^4}:x) - (\dfrac{1}{4}: - \dfrac{1}{8}).({x^3}:x) + (1: - \dfrac{1}{8}).(x:x)\)

\(= - 4.{x^{4 - 1}} - ( - 2).{x^{3 - 1}} + ( - 8).{x^{1 - 1}}\)

\(= - 4{x^3} + 2{x^2} - 8\)

Luyện tập vận dụng 3

Tính:

a) \(({x^3} + 1):({x^2} - x + 1)\);

b) \((8{x^3} - 6{x^2} + 5):({x^2} - x + 1)\).

Gợi ý

Để chia một đa thức cho một đa thức khác không (hai đa thức đều đã thu gọn và sắp xếp theo số mũ giảm dần), ta làm như sau:

Bước 1:

- Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia.

- Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột.

- Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

Bước 2: Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Đáp án

Vậy \(({x^3} + 1):({x^2} - x + 1) = x + 1\).

Vậy \((8{x^3} - 6{x^2} + 5) = ({x^2} - x + 1)(8x + 2) + ( - 6x + 3)\)

Bài tập 1

Tính:

a) \((4{x^3}):( - 2{x^2})\);

b) \(( - 7{x^2}):(6x)\);

c) \(( - 14{x^4}):( - 8{x^3})\).

Gợi ý

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (B ≠ 0) khi số mũ của biến trong A lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong B, ta làm như sau:

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B;

- Chia lũy thừa của biến trong A cho lũy thừa của biến đó trong B;

- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Đáp án

a) \((4{x^3}):( - 2{x^2})= [4: (- 2)].({x^3}:{x^2})= - 2.{x^{3 - 2}}= - 2x\);

b) \(( - 7{x^2}):(6x) = ( - 7:6).({x^2}:x) = - \dfrac{7}{6}.{x^{2 - 1}} = - \dfrac{7}{6}.x\);

c) \(( - 14{x^4}):( - 8{x^3}) = ( - 14: - 8).({x^4}:{x^3})= \dfrac{7}{4}.{x^{4 - 3}} = \dfrac{7}{4}.x\).

Bài tập 2

Tính:

a) \((8{x^3} + 2{x^2} - 6x):(4x)\);

b) \((5{x^3} - 4x):( - 2x)\);

c) \(( - 15{x^6} - 24{x^3}):( - 3{x^2})\).

Gợi ý

Đáp án

a) \((8{x^3} + 2{x^2} - 6x):(4x) = 8{x^3}:(4x) + 2{x^2}:(4x) - (6x):(4x)\)

\( = (8:4).({x^3}:x) + (2:4).({x^2}:x) - (6:4).(x:x)\)

\(= 2{x^2} + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}\)

\((5{x^3} - 4x):( - 2x) = 5{x^3}:( - 2x) - 4x:( - 2x) = (5: - 2).({x^3}:x) - (4: - 2).(x:x)\) \( = - \dfrac{5}{2}{x^{3 - 1}} - ( - 2) = - \dfrac{5}{2}{x^2} + 2\)

c) \(( - 15{x^6} - 24{x^3}):( - 3{x^2}) = ( - 15{x^6}):( - 3{x^2}) + ( - 24{x^3}):( - 3{x^2})\)

\(= ( - 15: - 3).({x^6}:{x^2}) + ( - 24: - 3).({x^3}:{x^2})\)

\(= 5.{x^{6 - 2}} + 8.{x^{3 - 2}} = 5{x^4} + 8x\)

Bài tập 3

Tính:

a) \(({x^2} - 2x + 1):(x - 1)\);

b) \(({x^3} + 2{x^2} + x):({x^2} + x)\);

c) \(( - 16{x^4} + 1):( - 4{x^2} + 1)\);

d) \(( - 32{x^5} + 1):( - 2x + 1)\).

Gợi ý

Để chia một đa thức cho một đa thức khác không (hai đa thức đều đã thu gọn và sắp xếp theo số mũ giảm dần), ta làm như sau:

Bước 1:

- Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia.

- Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột.

- Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

Bước 2: Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Đáp án

Bài tập 4

Tính:

a) \((6{x^2} - 2x + 1):(3x - 1)\);

b) \((27{x^3} + {x^2} - x + 1):( - 2x + 1)\);

c) \((8{x^3} + 2{x^2} + x):(2{x^3} + x + 1)\);

d) \((3{x^4} + 8{x^3} - 2{x^2} + x + 1):(3x + 1)\)

Gợi ý

Để chia một đa thức cho một đa thức khác không (hai đa thức đều đã thu gọn và sắp xếp theo số mũ giảm dần), ta làm như sau:

Bước 1:

- Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia.

- Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột.

- Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

Bước 2: Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Đáp án

Bài tập 5

Một công ty sau khi tăng giá 30 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là 2x (nghìn đồng) thì có doanh thu là \(6{x^2} + 170x + 1200\)(nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đó đã bán được theo x.

Gợi ý

Số sản phẩm mà công ty đó bán được bằng doanh thu chia cho giá của mỗi sản phẩm (sau khi tăng).

Đáp án

Giá tiền mỗi sản phẩm sau khi tăng giá là \(2x + 30\)(nghìn đồng).

Sau khi tăng giá thì công ty có doanh thu là \(6{x^2} + 170x + 1200\)(nghìn đồng). Vậy số sản phẩm mà công ty đó đã bán được theo x là:

\((6{x^2} + 170x + 1200):(2x + 30) = 3x + 40\)(sản phẩm).

Bài tập 6

Một hình hộp chữ nhật có thể tích là \({x^3} + 6{x^2} + 11x + 6\)\((c{m^3})\). Biết đáy là hình chữ nhật có các kích thước là \(x + 1\)(cm) và \(x + 2\)(cm). Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật đó theo x.

Gợi ý

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

Để tính chiều chiều cao của hình hộp chữ nhật, ta lấy thể tích hình hộp chữ nhật chia cho diện tích đáy. (Trong bài trên, diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là hình chữ nhật và bằng chiều dài nhân chiều rộng hay bằng tích của 2 cạnh).

Đáp án

Diện tích mặt đáy của hình hộp chữ nhật là:

\((x + 1).(x + 2) = x(x + 2) + 1.(x + 2)= {x^2} + 2x + x + 2 = {x^2} + 3x + 2 (c{m^2})\)

Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật đó theo x là:

\(({x^3} + 6{x^2} + 11x + 6):({x^2} + 3x + 2) = x + 3\)(cm).