60
Trong quá trình biến đổi và tính toán những biểu thức đại số, nhiều khi ta phải thực hiện phép nhân hai đa thức một biến, chẳng hạn ta cần thực hiện phép nhân sau:
\((x - 1)({x^2} + x + 1)\)
Làm thế nào để thực hiện được phép nhân hai đa thức một biến?
Xem lại mục III. Nhân đa thức với đa thức.
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
60
Thực hiện phép tính:
a) \({x^2}.{x^4}\);
b) \(3{x^2}.{x^3}\);
c) \(a{x^m}.b{x^n}\) (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n \(\in\) N).
Muốn thực hiện được phép tính, ta nhân hệ số của đơn thức thứ nhất với đơn thức thứ 2. Và nhân lũy thừa của biến trong đơn thức thứ nhất với lũy thừa của biến trong đơn thức thứ 2.
\({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\)
a) \({x^2}.{x^4} = {x^{2 + 4}} = {x^6}\).
b) \(3{x^2}.{x^3} = 3.1.{x^{2 + 3}} = 3{x^5}\).
c) \(a{x^m}.b{x^n} = a.b.{x^{m + n}}\) (a ≠ 0; b ≠ 0; m, n \(\in\) N).
60
Tính:
a) \(3{x^5}.5{x^8}\);
b) \(- 2{x^{m + 2}}.4{x^{n - 2}}\) (m, n \(\in\) N; n > 2).
Muốn nhân đơn thức A với đơn thức B, ta làm như sau:
Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;
Nhân lũy thừa của biến trong A với lũy thừa của biên đó trong B;
Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
a) \(3{x^5}.5{x^8} = 3.5.{x^5}.{x^8} = 15.{x^{5 + 8}} = 15.{x^{13}}\).
b)\(- 2{x^{m + 2}}.4{x^{n - 2}} = - 2.4.{x^{m + 2}}.{x^{n - 2}} = - 8.{x^{m + 2 + n - 2}} = - 8.{x^{m + n}}\) (m, n \(\in\) N; n > 2).
60
Quan sát hình chữ nhật MNPQ ở Hình 3.
a) Tính diện tích mỗi hình chữ nhật (I), (II);
b) Tính diện tích của hình chữ nhật MNPQ;
c) So sánh: \(a(b + c)\) và \(ab + ac\).
a) Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng cùng đơn vị đo.
b) Diện tích của hình chữ nhật MNPQ bằng diện tích hình chữ nhật (I) cộng với diện tích hình chữ nhật (II).
c) Muốn so sánh \(a(b + c)\) và \(ab + ac\), ta thực hiện phép tính \(a(b + c)\) rồi so sánh.
a) Diện tích của hình chữ nhật (I) là: \(a.b\).
Diện tích của hình chữ nhật (II) là: \(a.c\).
b) Diện tích của hình chữ nhật MNPQ là: \(ab + ac\).
c) Ta có: \(a(b + c) = a.b + a.c\).
Vậy \(a(b + c)\) = \(ab + ac\).
61
Cho đơn thức \(P(x) = 2x\) và đa thức \(Q(x) = 3{x^2} + 4x + 1\).
a) Hãy nhân đơn thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x).
b) Hãy cộng các tích vừa tìm được.
a) Để nhân đơn thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x), trước tiên ta xác định các đơn thức của đa thức Q(x) rồi sau đó thực hiện phép tính.
b) Cộng các tích vừa tìm được ở phần a).
a) Các đơn thức của đa thức Q(x) là: \(3{x^2};4x;1\).
Tích của đơn thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x) lần lượt là: \(2x.3{x^2} = 6{x^3};2x.4x = 8{x^2};2x.1 = 2x\).
b) Cộng các tích vừa tìm được:
\(6{x^3} + 8{x^2} + 2x\).
61
Tính:
a) \(\dfrac{1}{2}x(6x - 4)\);
b) \(- {x^2}(\dfrac{1}{3}{x^2} - x - \dfrac{1}{4})\).
Muốn nhân một đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
a)\(\dfrac{1}{2}x(6x - 4) = \dfrac{1}{2}x.6x + \dfrac{1}{2}x.( - 4) = 3{x^2} - 2x\) .
b) \(- {x^2}(\dfrac{1}{3}{x^2} - x - \dfrac{1}{4}) = - {x^2}.\dfrac{1}{3}{x^2} + - {x^2}. - x + - {x^2}. - \dfrac{1}{4}\)
\(= - \dfrac{1}{3}{x^4} + {x^3} + \dfrac{1}{4}{x^2}\)
61
Quan sát hình chữ nhật MNPQ ở Hình 4.
a) Tính diện tích mỗi hình chữ nhật (I), (II), (III), (IV).
b) Tính diện tích của hình chữ nhật MNPQ.
c) So sánh: \((a + b)(c + d)\) và \(ac + ad + bc + bd\).
a) Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng cùng đơn vị đo.
b) Diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng tổng diện tích của 4 hình chữ nhật con.
c) Muốn so sánh \((a + b)(c + d)\) và \(ac + ad + bc + bd\), ta thực hiện phép tính \((a + b)(c + d)\) rồi so sánh.
a) Diện tích của hình chữ nhật (I) là: \(a.c\).
Diện tích của hình chữ nhật (II) là: \(a.d\).
Diện tích của hình chữ nhật (III) là: \(b.c\).
Diện tích của hình chữ nhật (IV) là: \(b.d\).
b) Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: \(ac + ad + bc + bd\).
c) Ta có:
\((a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd\).
Vậy \((a + b)(c + d)\) = \(ac + ad + bc + bd\).
62
Cho đa thức \(P(x) = 2x + 3\) và đa thức \(Q(x) = x + 1\).
a) Hãy nhân mỗi đơn thức của đa thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x).
b) Hãy cộng các tích vừa tìm được.
a) Để nhân mỗi đơn thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x), trước tiên ta xác định các đơn thức của đa thức P(x), Q(x) rồi sau đó thực hiện phép tính.
b) Cộng các tích vừa tìm được ở phần a).
a) Các đơn thức của đa thức P(x) là: \(2x;3\).
Các đơn thức của đa thức Q(x) là: \(x;1\).
Tích mỗi đơn thức P(x) với từng đơn thức của đa thức Q(x) lần lượt là: \(2{x^2};2x;3x;3\).
b) Cộng các tích vừa tìm được:
\(2{x^2} + 2x + 3x + 3 = 2{x^2} + 5x + 3\).
62
Tính:
a) \(({x^2} - 6)({x^2} + 6)\);
b) \((x - 1)({x^2} + x + 1)\).
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau.
a) \(\begin{array}{l}({x^2} - 6)({x^2} + 6) = {x^2}({x^2} + 6) + ( - 6).({x^2} + 6) = {x^2}.{x^2} + {x^2}.6) + ( - 6).{x^2} + ( - 6).6\\ = {x^4} + 6{x^2} - 6{x^2} - 36 = {x^4} - 36\end{array}\)
b) \(\begin{array}{l}(x - 1)({x^2} + x + 1) = x({x^2} + x + 1) + ( - 1)({x^2} + x + 1) = x.{x^2} + x.x + x.1 + ( - 1).{x^2} + ( - 1).x + ( - 1).1\\ = {x^3} + {x^2} + x - {x^2} - x - 1 = {x^3} - 1\end{array}\)
63
Tính:
a) \(\dfrac{1}{2}{x^2}.\dfrac{6}{5}{x^3}\);
b) \({y^2}(\dfrac{5}{7}{y^3} - 2{y^2} + 0,25)\);
c) \((2{x^2} + x + 4)({x^2} - x - 1)\);
d) \((3x - 4)(2x + 1) - (x - 2)(6x + 3)\).
a) Muốn nhân đơn thức A với đơn thức B, ta làm như sau:
Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;
Nhân lũy thừa của biến trong A với lũy thừa của biên đó trong B;
Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
b) Muốn nhân một đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
c); d) Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau.
a) \(\dfrac{1}{2}{x^2}.\dfrac{6}{5}{x^3} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{6}{5}.{x^2}.{x^3} = \dfrac{3}{5}{x^5}\);
b) \(\begin{array}{l}{y^2}(\dfrac{5}{7}{y^3} - 2{y^2} + 0,25) = {y^2}.\dfrac{5}{7}{y^3} - {y^2}.2{y^2} + {y^2}.0,25)\\ = \dfrac{5}{7}{y^5} - 2{y^4} + 0,25{y^2}\end{array}\);
c)\(\begin{array}{l}(2{x^2} + x + 4)({x^2} - x - 1) = 2{x^2}({x^2} - x - 1) + x({x^2} - x - 1) + 4({x^2} - x - 1)\\ = 2{x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + {x^3} - {x^2} - x + 4{x^2} - 4x - 4 = 2{x^4} - {x^3} + {x^2} - 5x - 4\end{array}\);
d)\(\begin{array}{l}(3x - 4)(2x + 1) - (x - 2)(6x + 3) = 3x(2x + 1) - 4(2x + 1) - x(6x + 3) + 2(6x + 3)\\ = 6{x^2} + 3x - 8x - 4 - 6{x^2} - 3x + 12x + 6\\ = 4x + 2\end{array}\).
63
Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức:
a) \(P(x) = ( - 2{x^2} - 3x + x - 1)(3{x^2} - x - 2)\);
b) \(Q(x) = ({x^5} - 5)( - 2{x^6} - {x^3} + 3)\).
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau.
Ta thực hiện nhân đa thức với đa thức rồi tìm bậc (là số mũ cao nhất của biến trong đa thức), hệ số cao nhất (là hệ số đi cùng với số mũ cao nhất của biến), hệ số tự do (là hệ số không đi cùng với biến hoặc biến có số mũ bằng 0).
a) \(P(x) = ( - 2{x^2} - 3x + x - 1)(3{x^2} - x - 2) = - 2{x^2}(3{x^2} - x - 2) - 3x(3{x^2} - x - 2) + x(3{x^2} - x - 2) - 1.(3{x^2} - x - 2)\)
\( = - 6{x^4} + 2{x^3} + 4{x^2} - 9{x^3} + 3{x^2} + 6x + 3{x^3} - {x^2} - 2x - 3{x^2} + x + 2\)
\( = - 6{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\)
Bậc của đa thức là: 4.
Hệ số cao nhất của đa thức là: – 6.
Hệ số tự do của đa thức là: 2.
b) \(Q(x) = ({x^5} - 5)( - 2{x^6} - {x^3} + 3) = {x^5}( - 2{x^6} - {x^3} + 3) - 5( - 2{x^6} - {x^3} + 3)\)
\( = - 2{x^{11}} - {x^8} + 3{x^5} + 10{x^6} + 6{x^3} - 15\)
\(= - 2{x^{11}} - {x^8} + 10{x^6} + 3{x^5} + 6{x^3} - 15\)
Bậc của đa thức là: 11.
Hệ số cao nhất của đa thức là: – 2.
Hệ số tự do của đa thức là: – 15.
63
Xét đa thức \(P(x) = {x^2}({x^2} + x + 1) - 3x(x - a) + \dfrac{1}{4}\) (với a là một số).
a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức đó theo số mũ giảm dần của biến.
b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng \(\dfrac{5}{2}\).
a) Để thu gọn đa thức P(x) ta nhân hết các biểu thức ra rồi rút gọn. Sau đó sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần.
b) Tổng các hệ số bằng các hệ số đi cùng biến cộng với hệ số tự do.
a)\(\begin{array}{l}P(x) = {x^2}({x^2} + x + 1) - 3x(x - a) + \dfrac{1}{4} = {x^4} + {x^3} + {x^2} - 3{x^2} + 3ax + \dfrac{1}{4}\\ = {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 3ax + \dfrac{1}{4}\end{array}\).
b) Các hệ số có trong đa thức P(x) là: 1; 1; – 2; 3a; \(\dfrac{1}{4}\).
Tổng các hệ số bằng \(\dfrac{5}{2}\)hay:
\(\begin{array}{l}1 + 1 - 2 + 3a + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{2}\\ \to 3a = \dfrac{9}{4}\\ \to a = \dfrac{3}{4}\end{array}\)
Vậy \(a = \dfrac{3}{4}\).
63
Từ tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 20 cm và 30 cm, bạn Quân cắt đi ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông sao cho bốn hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh, sau đó gấp lại để tạo thành hình hộp chữ nhật không nắp (Hình 5). Viết đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi.
Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng nhân chiều cao cùng đơn vị đo.
Đối với bài trên, chiều dài của hình hộp chữ nhật bằng chiều dài của tấm bìa sau khi cắt, chiều rộng của hình hộp chữ nhật bằng chiều rộng của tấm bìa sau khi cắt, chiều cao của hình hộp chữ nhật bằng độ dài của cạnh hình vuông cắt.
Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt đi là x (cm). Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật là x (cm),
Chiều dài tấm bìa sau khi cắt hay chiều dài hình hộp chữ nhật là: \(30 - 2x\) (cm).
Chiều rộng tấm bìa sau khi cắt hay chiều rộng hình hộp chữ nhật là: \(20 - 2x\)(cm).
Thể tích hình hộp chữ nhật là:
\(\begin{array}{l}(30 - 2x).(20 - 2x).x \\= (30 - 2x)(20x - 2{x^2})\\ = 30(20x - 2{x^2}) - 2x(20x - 2{x^2})\\ = 600x - 60{x^2} - 40{x^2} + 4{x^3}\\ = 4{x^3} - 100{x^2} + 600x (cm^3)\end{array}\)
Vậy đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi là \(4{x^3} - 100{x^2} + 600x\).
63
Ảo thuật với đa thức
Bạn Hạnh bảo với bạn Ngọc:
“– Nếu bạn lấy tuổi của một người bất kì cộng thêm 5;
– Được bao nhiêu đem nhân với 2;
– Lấy kết quả đó cộng với 10;
– Nhân kết quả vừa tìm được với 5;
– Đọc kết quả cuối cùng sau khi trừ đi 100. Mình sẽ đoán được tuổi của người đó.”
Em hãy sử dụng kiến thức nhân đa thức để giải thích vì sao bạn Hạnh lại đoán được tuổi người đó.
Gọi tuổi của một người là x rồi ta thực hiện các bước như lời bạn Hạnh nói.
Gọi số tuổi của một người là x (tuổi)
– Nếu bạn lấy tuổi của một người bất kì cộng thêm 5: \(x + 5\)
– Được bao nhiêu đem nhân với 2: \((x + 5).2 = 2x + 10\)
– Lấy kết quả đó cộng với 10: \(2x + 10 + 10 = 2x + 20\)
– Nhân kết quả vừa tìm được với 5: \((2x + 20).5 = 10x + 100\)
– Đọc kết quả cuối cùng sau khi trừ đi 100: \(10x + 100 - 100 = 10x\).
Vậy kết quả cuối cùng mà bạn Ngọc đọc sẽ là \(10x\) tức là 10 lần số tuổi của người đó. Vậy nên khi có kết quả mà bạn Ngọc đọc lên, bạn Hạnh chỉ cần lấy số đó chia cho 10 là ra tuổi của người mà bạn Hạnh chọn.
