Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42, 48; 54, ...}

B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63, ...}

BC(6, 9) = {0; 18; 36; 54; ...}

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6; 9) là 18.

Do 36  \( \vdots \) 9 nên BCNN(36,9) = 36

a) B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; ...}

    B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; ...}

Do đó BC(6, 8) = {0; 24; 48; ...}

Vậy BCNN(6, 8) = 24

b) Vì 72 \(\vdots\) 8 và 72 \(\vdots\) 9 nên BCNN(8, 9, 72) = 72.

Số tháng cần tìm là BCNN(6, 9)

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; ...}

B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; ...}

Nên BC(6, 9) = {0; 18; 36; 54; ...}

Do đó BCNN(6, 9) = 18

Vậy sau ít nhất 18 tháng nữa thì hai máy được bảo dưỡng cùng một tháng.

Ta có:\(9 = 3^2 ; 15 =3. 5\)

Thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 5. Số mũ lớn nhất của 3 là 2, của 5 là 1 nên

BCNN(9, 15) \(=3^2.5=45\)

BC(8, 6) = B(24) ={0; 24; 48; 72; 96; 120;...}

Vậy các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6 là : 0; 24; 48; 72; 96.

Phân tích 15 và 54 ra thừa số nguyên tố:  15 = 3.5  ;  \(54=2.3^3\)

Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5. Số mũ lớn nhất của 3 là 3, của 2 là 1, của 5 là 1 nên BCNN(15, 54) = \(2.3^3.5=270\)

Do đó BC(15, 54) = {0; 270; 540; 810; 1080; ...}

Vậy bội chung nhỏ hơn 1000 của 15 và 54 là: 0; 270; 540; 810.

Ta có 22h – 10h35p =11h25p = 685 phút

Thời gian các xe cùng xuất bến cách 10h35p các khoảng thời gian là BC(9, 10, 15) và nhỏ hơn 685 phút

Ta có: \(9=3^2\),   10 = 2.5,    15 = 3.5.

=> BCNN(9, 10, 15) \(=2.3^2.5=90\)

Như vậy, cứ sau 90 phút thì các xe lại cùng xuất phát

Các BC(9, 10, 15) và nhỏ hơn 685 là: 0; 90; 180; 270; 360; 450; 540; 630.

Ta lấy 10h35p cộng lần lượt với 0; 90; 180; 270; 360; 450; 540; 630 phút ta được:

Thời gian các xe cùng xuất bến là: 10h35p, 12h05p; 13h35p; 15h05p; 16h35p; 18h05p; 19h35p; 21h05p.

Ta có: \(9 = 3^2; 15=3.5\)

Thừa số nguyên tố chung là 3, thừa số nguyên tố riêng là 5. Số mũ lớn nhất của 3 là 2, của 5 là 1

\(\Rightarrow BCNN(9, 15)=3^2.5 = 45\) nên ta chọn mẫu số chung là 45.

\(\dfrac{7}{9} = \dfrac{{7.5}}{{9.5}} = \dfrac{{35}}{{45}}\)

\(\dfrac{4}{{15}} = \dfrac{{4.3}}{{15.3}} = \dfrac{{12}}{{45}}\)

1. a) Ta có BCNN(12, 15) = 60 nên ta lấy mẫu chung của hai phân số là 60. 

Thừa số phụ:

60:12 =5; 60:15=4

Ta được:

\(\frac{5}{{12}} = \frac{{5.5}}{{12.5}} = \frac{{25}}{{60}}\)

\(\frac{7}{{15}} = \frac{{7.4}}{{15.4}} = \frac{{28}}{{60}}\)

 b) Ta có BCNN(7, 9, 12) = 252 nên ta lấy mẫu chung của ba phân số là 252. 

Thừa số phụ:

252:7 = 36;   252:9 = 28;   252:12 = 21

Ta được:

\(\frac{2}{7} = \frac{{2.36}}{{7.36}} = \frac{{72}}{{252}}\)

\(\frac{4}{9} = \frac{{4.28}}{{9.28}} = \frac{{112}}{{252}}\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7.21}}{{12.21}} = \frac{{147}}{{252}}\)

2. a) Ta có BCNN(8, 24) = 24 nên:

\(\frac{3}{8} + \frac{5}{{24}} = \frac{{3.3}}{{8.3}} + \frac{5}{{24}} = \frac{9}{{24}} + \frac{5}{{24}} = \frac{{14}}{{24}} = \frac{7}{{12}}\)

 b) Ta có BCNN(12, 16) = 48 nên:

\(\frac{7}{{16}} - \frac{5}{{12}} = \frac{{7.3}}{{16.3}} - \frac{{5.4}}{{12.4}} = \frac{{21}}{{48}} - \frac{{20}}{{48}} = \frac{1}{{48}}\).

a) Do 5 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên:

BCNN(5, 7) = 5.7 = 35 => BC(5, 7) = B(35) = {0; 35; 70; 105; 140; 175; 210; ...}

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là 0; 35; 70; 105; 140; 175.

b) Ta có: 3 = 3; \(4=2^2\); 10 = 2.5

Không có thừa số nguyên tố chung ; thừa số nguyên tố riêng là 2,3,5. Số mũ lớn nhất của 2;3;5 lần lượt là 2;1;1 nên BCNN(3, 4, 10) = 22.3.5 = 60

=> BC(3, 4, 10) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; ...}

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 10 là 0; 60; 120; 180.

a) \(2.3^3\) và 3.5

Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 3 và thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5. Số mũ lớn nhất của 3 là 3; của 2 là 1; của 5 là 1. 

Vậy BCNN cần tìm là 2.33.5 = 270

b) \(2.5.7^2\) và \(3.5^2.7\)

Ta thấy các thừa số nguyên tố chung là 5 và 7; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 3. Số mũ lớn nhất của 5 là 2; của 7 là 2; của 2 là 1, của 3 là 1. 

Vậy BCNN cần tìm là \(2.3.5^2.7^2\)  = 7350.

a) 30 và 45

30 = 2.3.5  ; 45=  \(3^2.5\)

Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3 và 5; thừa số nguyên tố riêng là 2

Số mũ cao nhất của 3 là 2; số mũ cao nhất của 5 là 1; số mũ cao nhất của 2 là 1

Vậy BCNN(30, 45)\(=2.3^2.5=90\)

b) 18, 27 và 45

\(18=2.3^2,  27=3^3,  45=3^2.5\)

Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 3; thừa số nguyên tố riêng là 2 và 5

Số mũ cao nhất của 3 là 3; số mũ cao nhất của 2 là 1; số mũ cao nhất của 5 là 1

Vậy BCNN(18, 27, 45)\(=2.3^2.5=720\)

Số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 và a ⋮ 28 và a ⋮ 32 

Do đó a = BCNN(28, 32)

28 = \(2^2.7\)

32 =\(2^5\)

Thừa số nguyên tố chung là 2, thừa số nguyên tố riêng là 7. Số mũ lớn nhất của 2 là 5, của 7 là 1

Nên a = BCNN(28, 32)\(=2^5.7=224\)

Học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ.

Nên số học sinh của lớp 6A là BC(3, 4, 9) 

Ta có BCNN(3, 4, 9) = 36

Do đó BC(3, 4, 9) = {0; 36; 72; ...}

Mà số học sinh lớp 6A từ 30 đến 40 nên số học sinh lớp 6A là 36.

Vì số cây hai đội trồng được như nhau mà mỗi công nhân đội I đã trồng 8 cây, mỗi công nhân đội II đã trồng 11 cây.

Nên số cây mỗi đội trồng được là BC(8, 11)

BCNN(8, 11) = 88

Do đó số cây mỗi đội trồng là BC(8, 11) = B(88) = {0; 88; 176; 264; ...}

Mà số cây trong khoảng từ 100 đến 200 nên số cây mỗi đội trồng được là 176 cây.

Số ngày ít nhất mà cún vừa được đi dạo, vừa được tắm là BCNN (2, 7)

Mà 2 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên BCNN (2, 7) = 2.7 = 14

Vậy số ít nhất mà cún vừa được đi dạo, vừa được tắm là 14 ngày.

a) Ta có: \(12 = 2^2 . 3; 15 = 3.5\)

\(BCNN(12, 15) = 2^2.3.5 = 60\) nên chọn mẫu chung là 60.

\(\begin{array}{l}\frac{9}{{12}} = \frac{{9.5}}{{12.5}} = \frac{{45}}{{60}}\end{array}\)

\(\frac{7}{{15}} = \frac{{7.4}}{{15.4}} = \frac{{28}}{{60}}\)

b) Ta có: \(10 = 2.5; 4 = 2^2; 14=2.7\)

\(BCNN(10, 4, 14) =2^2.5.7= 140\) nên chọn mẫu chung là 140.

\(\begin{array}{l}\frac{7}{{10}} = \frac{{7.14}}{{10.14}} = \frac{{98}}{{140}}\end{array}\)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3.35}}{{4.35}} = \frac{{105}}{{140}}\)

\(\frac{9}{{14}} = \frac{{9.10}}{{14.10}} = \frac{{90}}{{140}}\)

a) Mẫu số chung = BCNN(11, 7) = 77

Thừa số phụ: 77: 11= 7;     77:7 = 11.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{7}{{11}} + \frac{5}{7} = \frac{{7.7}}{{11.7}} + \frac{{5.11}}{{7.11}}\\ = \frac{{49}}{{77}} + \frac{{55}}{{77}} = \frac{{104}}{{77}}\end{array}\).

b) Mẫu số chung = BCNN(20, 15)= 60 

Thừa số phụ: 60:20 = 3;      60:15 = 4

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{7}{{20}} - \frac{2}{{15}} = \frac{{7.3}}{{20.3}} - \frac{{2.4}}{{15.4}}\\ = \frac{{21}}{{60}} - \frac{8}{{60}} = \frac{{13}}{{60}}\end{array}\).