Bài 6: Phép chia hết hai số nguyên. Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên

Hoạt động 1

a) Tìm số thích hợp cho ? : Do \(\left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right) = 12\) nên \(12:\left( { - 3} \right) = ?\).

Mẫu: Do \(4.\left( { - 3} \right) = - 12\) nên \(\left( { - 12} \right):4 = - 3\).

b) So sánh \(12:\left( { - 3} \right)\) và \(- \left( {12:3} \right)\).

Gợi ý

a) Dựa vào phép tính mẫu để điển vào ?

b) Thực hiện phép tính và so sánh

Đáp án

a) \(\left( { - 4} \right)\).

b) \(12:\left( { - 3} \right) = \left( { - 4} \right)\)

\(12:3 = 4 \Rightarrow - \left( {12:3} \right) = - 4\)

Vậy hai phép tính 12 : (- 3) và - (12 : 3) cho kết quả bằng nhau.

Luyện tập vận dụng 1

Tính

a) 36 : (- 9) ;

b) (- 48) : 6.

Gợi ý

Chia hai số nguyên khác dấu:

Bước 1: Bỏ dấu “-“ trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.

Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thêm dấu “-“ trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.

Đáp án

a) 36 : (- 9) = - (36 : 9) = - 4.

b) (- 48) : 6 = - (48 : 6) = 8.

Hoạt động 2

a) Tìm số thích hợp cho ? : Do \(\left( { - 5} \right).4 = - 20\) nên \(\left( { - 20} \right):\left( { - 5} \right) = ?\).

Mẫu: Do \(\left( { - 4} \right).3 = - 12\) nên \(\left( { - 12} \right):\left( { - 4} \right) = 3\).

b) So sánh \(\left( { - 20} \right):\left( { - 5} \right)\) và \(20:5\).

Gợi ý

a) Dựa vào phép tính mẫu để điền vào ?

b) Thực hiện phép tính và so sánh.

Đáp án

a) 4

b) (- 20) : (- 5) = 4 = 20 : 5.

Vậy hai phép tính (- 20) : (- 5) và 20 : 5 cho kết quả bằng nhau.

Luyện tập vận dụng 2

Tính

a) \(\left( { - 12} \right):\left( { - 6} \right)\);

b) \(\left( { - 64} \right):\left( { - 8} \right)\).

Gợi ý

Chia hai số nguyên âm:

Bước 1: Bỏ dấu “-‘ trước mỗi số.

Bước 2. Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1 ta có thương cần tìm.

Đáp án

a) (- 12) : (- 6) = 12 : 6 = 2.

b) (- 64) : (- 8) = 64 : 8 = 8.

Hoạt động 3

a) Tìm số thích hợp ở ? trong bảng sau:

b) Số \(- 36\) có thể chia hết cho các số nguyên nào?

Gợi ý

a) Điền số thích hợp vào bảng

b) Dựa vào bảng để tìm các số mà (-36) có thể chia hết.

Đáp án

n	1	2	3	4	6	9	12	18	36
(- 36) : n	-36	- 18	- 12	- 9	- 6	- 4	- 3	- 2	- 1

b) Số - 36 chia hết cho các số nguyên: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, - 1, - 2, - 3, - 4, -6, -9, -12, -18, -36.

Luyện tập vận dụng 3

Sử dụng các từ “chia hết cho”, “bội”, “ước” thích hợp cho ?

a) – 16 ? - 2;

b) - 18 là ? của – 6;

c) 3 là ? của – 27

Gợi ý

a) Tìm q để - 16 = q.( - 2).

b) Tìm q để - 18 = q.( - 6).

c) Tìm q để - 27 = q. 3.

Đáp án

a) Do – 16 = 8 . (- 2) nên – 16 chia hết cho (- 2)

b) Do – 18 = 3. (– 6 ) nên – 18 là bội của – 6.

c) Do – 27 = ( – 9 ).3 nên 3 là ước của – 27.

Luyện tập vận dụng 4

a) Viết tất cả các số nguyên là ước của -15 ; -12.

b) Viết năm số nguyên là bội của -3 ; -7.

Gợi ý

a) Viết tất cả các số nguyên là ước của -15 ; -12.

b) Nhân -3 và -7 với năm số nguyên bất kì ta được năm bội của mỗi số.

Đáp án

a) Do -15= (-15).1=15.(-1)=(-5 ).3= (-3).5 nên:

Ư(-15) = {15;- 15; 5; -5; 3; -3; 1; -1}

Do -12=(-12).1= 12. (-1)=(- 2).6= 2.(-6)=3.(-4)=(-3).4 nên:

Ư(-12) = {12; -12; 6; -6; 4; -4; 3; -3; 2; -2; 1; -1}

b) B(-3) = {3; -3; 6; - 6; 9;...}

B(-7) = {7; -7; 14; -14; 21;...}

Bài tập 1

Tính:

a) (- 45) : 5;

b) 56 : 7;

c) 75 : 25;

d) (- 207) : (- 9).

Gợi ý

+ Chia hai số nguyên khác dấu:

Bước 1: Bỏ dấu “-“ trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.

Bước 2: Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thêm dấu “-“ trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.

+ Chia hai số nguyên âm:

Bước 1: Bỏ dấu “-‘ trước mỗi số.

Bước 2. Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1 ta có thương cần tìm.

Đáp án

a) (- 45) : 5 = - (45 : 5) = - 9

b) 56 : (- 7) = - (56 : 7) = - 8

c) 75 : 25 = 3

d) (- 207) : (- 9) = 207 : 9 = 23

Bài tập 2

So sánh:

a) 36 : (- 6) và 0;

b) (- 15) : (- 3) và (- 63) : 7

Gợi ý

+ Thương của phép chia hai số nguyên khác dấu luôn là số âm.

+ Thương của phép chia hai số nguyên cùng dấu luôn là số dương.

Đáp án

a) 36: (-6) là số âm nên:

36 : (- 6) < 0

b) (- 15) : (- 3) là số dương và (- 63) : 7 là số âm nên

(- 15) : (- 3) > (- 63) : 7.

Bài tập 3

Tìm số nguyên x, biết:

a) (- 3) . x = 36;

b) (- 100) : (x + 5) = - 5.

Gợi ý

a) + Lấy 36: (-3).

+ Sử dụng phương pháp chia hai số nguyên khác dấu.

b) + Biểu diễn (-100) thành tích của các số.

+ Sử dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng cho -5.(x+5).

+ Tính - 5 . x

+ Tính x.

Đáp án

a) (- 3). x = 36

x = 36 : (- 3)

x= - (36 : 3)

x = - 12

Vậy x = -12

b) (- 100) : (x + 5) = - 5

x + 5 = (-100) : (-5)

x + 5 = 20

x = 20 - 5

x =15

Vậy x = 15

Bài tập 4

Nhiệt độ lúc 8 giờ trong 5 ngày liên tiếp là \( - 6^\circ C, - 5^\circ C, - 4^\circ ,2^\circ C,3^\circ C\). Tính nhiệt độ trung bình lúc 8 giờ sáng của 5 ngày đó.

Gợi ý

Nhiệt độ trung bình: Tính tổng nhiệt độ 5 ngày rồi chia 5.

Đáp án

Nhiệt độ trung bình lúc 8 giờ sáng của 5 ngày là:

[(- 6) + (- 5) + (- 4) + 2 + 3] : 5 = - 2\(\left( {^\circ C} \right)\).

Bài tập 5

Trong các phát biểu sau đây phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? Giải thích.

a) – 36 chia hết cho – 9;

b) – 18 chia hết cho 5.

Gợi ý

Nhận định tính đúng sai của các phát biểu và giải thích.

Đáp án

a) Đúng. Vì (- 36) = (- 9) . 4

b) Sai. Vì 5 không là ước của 18.

Bài tập 6

Tìm số nguyên x, biết:

a) 4 chia hết cho x.

b) -13 chia hết cho x+2.

Gợi ý

a) x là ước nguyên của 4

b) x+2 là ước nguyên của -13

Đáp án

a) 4 chia hết cho x nên x là ước nguyên của 4 tức là \(x \in \left\{ {1; - 1;2;-2;4;-4} \right\}\)

b) Vì -13 chia hết cho x+2 nên \(x+2 \in Ư(-13) =\)\(\left\{ {1; - 1;13; - 13} \right\}\)

Với \(x + 2 = 1 \Rightarrow x = 1 - 2 = - 1\)

Với \(x + 2 = - 1 \Rightarrow x = - 1 - 2 = - 3\)

Với \(x + 2 = 13 \Rightarrow x = 13 - 2 = 11\)

Với \(x + 2 = - 13 \Rightarrow x = - 13 - 2 = - 15\)

Vậy \(x \in \left\{ {-1; - 3;11;-15} \right\}\)

Bài tập 7

Một con ốc sên leo lên một cây cao 8 m. Trong mỗi ngày (24 giờ), 12 giờ đầu tiên ốc sên leo được 3m, rồi 12 giờ sau nó lại tụt xuống 2m. Quy ước quãng đường mà ốc sên leo lên 3 m là 3 m, quãng đường ốc sên tụt xuống 2 m là - 2m.

a) Viết phép tính biểu thị quãng đường mà ốc sên leo được sau 2 ngày.

b) Sau 5 ngày thì ốc sên leo được bao nhiêu m?

c) Sau bao nhiêu giờ thì ốc sên chạm đến ngọn cây? Biết rằng lúc 0 giờ ốc sên ở gốc cây và bắt đầu leo lại.

Gợi ý

a) + Biểu thị quãng đường ốc sên leo trong một ngày.

+ Quãng đường ốc sên leo 2 ngày gấp 2 lần quãng đường 1 ngày.

b) Quãng đường ốc sên leo 5 ngày gấp 5 lần quãng đường 1 ngày.

c) + Ngọn cây 8m=5m+3m.

+ Tính số giờ leo được 5 m.

+ Tính số giờ leo 3m còn lại.

Đáp án

a) Quãng đường mà ốc sên leo được sau 1 ngày được biểu thị bằng phép tính: \(3 + \left( { - 2} \right)\).

Quãng đường mà ốc sên leo được sau 2 ngày được biểu thị bằng phép tính:

[3 + (- 2)] . 2.

b) Sau 5 ngày ốc sên leo được: [3 + (- 2)] . 5 = 5 m.

c) 12 giờ đầu tiên ốc sên leo được 3m, rồi 12 giờ sau nó lại tụt xuống 2m.

=> Sau 1 ngày (24 giờ) ốc sên sẽ leo được 1 m

- Đến hết ngày thứ 5 (120 giờ) ốc sên leo được 5 m.

- 12 giờ đầu ốc sên leo được 3 m

Như vậy ốc sên đã lên đến ngọn cây

- Nên tổng số giờ: 120 + 12 = 132 giờ.

Kết luận: Tổng số giờ ốc sên chạm đến ngọn cây là 132 giờ.

Bài tập 8

Dùng máy tính cầm tay để tính:

(- 252) : 21;

253 : (- 11);

(- 645) : (- 15).

Gợi ý

Các em sử dụng máy tính cầm tay để tính theo hướng dẫn.

Đáp án

(-252):21= - 12

253: (-11)= ( -23)

( - 645) : (- 15 ) = 43.