Bài 4: Phép nhân và phép chia phân số

Khởi động

Gấu nước được nhà sinh vật học người Ý I. Span- lan- gia- ni (I. Spallanzani) đặt tên là Tac- đi- gra- đa( Tardigrada) vào năm 1776. Một con gấu nước dài khoảng \(\frac{1}{2}\) mm. Một con gấu đực Bắc Cực trưởng thành dài khoảng \(\frac{5}{2}\) m. Chiều dài con gấu đực Bắc Cực trưởng thành gấp bao nhiêu lần chiều dài con gấu nước?

Gợi ý

Thực hiện phép chia

Chú ý đơn vị độ dài

Đáp án

Đổi \(\frac{5}{2}\) m= \(\frac{5}{2}.1000\) mm = 2500 mm

Chiều dài con gấu đực Bắc Cực trưởng thành gấp số lần chiều dài con gấu nước là:

2500: \(\frac{1}{2}\) = 5000 (lần)

Luyện tập vận dụng 1

Tính tích và viết kết quả ở dạng phân số tối giản:

a) \(\frac{{ - 9}}{{10}}.\frac{{25}}{{12}};\)

b) \(\left( {\frac{{ - 3}}{8}} \right).\frac{{ - 12}}{5}.\)

Gợi ý

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

Đáp án

\(\begin{array}{l}\frac{{ - 9}}{{10}}.\frac{{25}}{{12}} = \frac{{ - 9.25}}{{10.12}} = \frac{{ - 225}}{{120}}\\ = \frac{{( - 225):15}}{{120:15}} = \frac{{ - 15}}{8}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{ - 3}}{8}} \right).\frac{{ - 12}}{5} = \frac{{( - 3).( - 12)}}{{8.5}}\\ = \frac{{36}}{{40}} = \frac{9}{{10}}\end{array}\)

Luyện tập vận dụng 2

Tính tích và viết kết quả ở dạng phân số tối giản:

a) \(8.\frac{{( - 5)}}{6};\)

b) \(\frac{5}{{21}}.( - 14).\)

Gợi ý

\(a.\frac{b}{c} = \frac{{a.b}}{c}\)

Đáp án

a) \(8.\frac{{( - 5)}}{6} = \frac{{8.( - 5)}}{6} = \frac{{ - 40}}{6} = \frac{{ - 20}}{3}\)

b) \(\frac{5}{{21}}.( - 14) = \frac{{5.( - 14)}}{{21}} = \frac{{ - 70}}{{21}} = \frac{{ - 10}}{3}\)

Luyện tập vận dụng 3

Tính một cách hợp lí:

\(\frac{{ - 9}}{7}.\left( {\frac{{14}}{{15}} - \frac{{ - 7}}{9}} \right)\).

Gợi ý

Thực hiện phép trừ trong ngoặc trước sau đó thực hiện phép nhân.

Đáp án

\(\begin{array}{l}\frac{{ - 9}}{7}.\left( {\frac{{14}}{{15}} - \frac{{ - 7}}{9}} \right)\\ = \frac{{ - 9}}{7}.\left( {\frac{{14.3}}{{15.3}} - \frac{{( - 7).5}}{{9.5}}} \right)\\ = \frac{{ - 9}}{7}.\left( {\frac{{42}}{{45}} - \frac{{( - 35)}}{{45}}} \right)\\ = \frac{{ - 9}}{7}.\frac{{77}}{{45}} = \frac{{ - 11}}{5}\end{array}\)

Hoạt động 3

Viết phân số có tử và mẫu lần lượt là mẫu và tử của phân số \(\frac{3}{2}\).

Gợi ý

Phân số có tử và mẫu lần lượt là mẫu và tử của phân số \(\frac{a}{b}\) là \(\frac{b}{a}\) (\({\rm{a,b}} \ne {\rm{0}}\))

Đáp án

Phân số có tử và mẫu lần lượt là mẫu và tử của phân số \(\frac{3}{2}\) là: \(\frac{2}{3}\)

Luyện tập vận dụng 4 Tr42

Tìm phân số nghịch đảo của mỗi phân số sau:

a) \(\frac{{ - 4}}{{11}}\);

b) \(\frac{7}{{ - 17}}\).

Gợi ý

Phân số nghịch đảo của phân số \(\frac{a}{b}\) là \(\frac{b}{a}\) (\({\rm{a,b}} \ne {\rm{0}}\))

Đáp án

a) \(\frac{{11}}{{ - 4}}\);

b) \(\frac{{ - 17}}{7}\)

Luyện tập vận dụng 5

Tính:

a) \(\frac{{ - 9}}{5}:\frac{8}{3}\);

b)\(\frac{{ - 7}}{9}:( - 5).\)

Gợi ý

\(\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}.\frac{d}{c} = \frac{{a.d}}{{b.c}}(\,\,\,\,b,c,d \ne 0\))

Đáp án

a) \(\frac{{ - 9}}{5}:\frac{8}{3} = \frac{{ - 9}}{5}.\frac{3}{8} = \frac{{ - 27}}{{40}}\);

b)\(\frac{{ - 7}}{9}:( - 5) = \frac{{ - 7}}{9}.\frac{{ - 1}}{5} = \frac{7}{{45}}\)

Bài tập 1

Tính tích và viết kết quả ở dạng phân số tối giản:

a) \(\frac{{ - 5}}{9}.\frac{{12}}{{35}}\);

b) \(\left( {\frac{{ - 5}}{8}} \right).\frac{{ - 6}}{{55}}\)

c) \(\left( { - 7} \right).\frac{2}{5}\);

d) \(\frac{{ - 3}}{8}.\left( { - 6} \right)\)

Gợi ý

\(\frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{{a.c}}{{b.d}}\) với \(b,d \ne 0\)

\(a.\frac{b}{c} = \frac{{a.b}}{c}\) với \(c \ne 0\)

Đáp án

a) \(\begin{array}{l}\frac{{ - 5}}{9}.\frac{{12}}{{35}} = \frac{{(- 5).12}}{{9.35}} = \frac{{ - 60}}{{315}} = \frac{{ - 60:15}}{{315:15}} = \frac{{ - 4}}{{21}}\end{array}\)

b)\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{ - 5}}{8}} \right).\frac{{ - 6}}{{55}} = \frac{{ (- 5).( - 6)}}{{8.55}}= \frac{{30}}{{440}} =\frac{{30:10}}{{440:10}}= \frac{3}{{44}}\end{array}\)

c) \(\left( { - 7} \right).\frac{2}{5} = \frac{{ (- 7).2}}{5} = \frac{{ - 14}}{5}\);

d) \(\frac{{ - 3}}{8}.\left( { - 6} \right) = \frac{{( - 3).( - 6)}}{8} = \frac{{18}}{8} = \frac{{18:2}}{8:2} = \frac{9}{4}\)

Bài tập 2

Tìm số thích hợp cho [?]:

a) \(\frac{{ - 2}}{3}.\frac{{\left[ ? \right]}}{4} = \frac{1}{2}\);

b) \(\frac{{\left[ ? \right]}}{3}.\frac{5}{8} = \frac{{ - 5}}{{12}}\);

c) \(\frac{5}{6}.\frac{3}{{\left[ ? \right]}} = \frac{1}{4}.\)

Gợi ý

+) Muốn tìm thừa số ta lấy tích chia cho thừa số còn lại.

+) Nếu 2 phân số bằng nhau có cùng mẫu số thì tử số của chúng bằng nhau.

Đáp án

\(\begin{array}{l}\frac{{ - 2}}{3}.\frac{{\left[ ? \right]}}{4} = \frac{1}{2}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{4} = \frac{1}{2}:\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)\\\frac{{\left[ ? \right]}}{4} = \frac{1}{2}.\frac{{ - 3}}{2}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{4} = \frac{{ - 3}}{4}\\ \Rightarrow \left[ ? \right] =- 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\left[ ? \right]}}{3}.\frac{5}{8} = \frac{{ - 5}}{{12}}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{3} = \frac{{ - 5}}{{12}}:\frac{5}{8}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{3} = \frac{{ - 5}}{{12}}.\frac{8}{5}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{3} = \frac{{ - 2}}{3}\\ \Rightarrow \left[ ? \right] =- 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{5}{6}.\frac{3}{{\left[ ? \right]}} = \frac{1}{4}\\\frac{3}{{\left[ ? \right]}} = \frac{1}{4}:\frac{5}{6}\\\frac{3}{{\left[ ? \right]}} = \frac{1}{4}.\frac{6}{5}\\\frac{3}{{\left[ ? \right]}} = \frac{3}{{10}}\\ \Rightarrow \left[ ? \right] = 10\end{array}\)

Bài tập 3

Tìm phân số nghịch đảo của mỗi phân số sau:

a) \(\frac{{ - 9}}{{19}}\);

b) \(- \frac{{21}}{{13}}\);

c) \(\frac{1}{{ - 9}}\).

Gợi ý

Phân số nghịch đảo của phân số \(\frac{a}{b}\) là \(\frac{b}{a}\) (\({\rm{a,b}} \ne {\rm{0}}\)).

Đáp án

a) \(\frac{{ - 19}}{9}\);

b) \(- \frac{{13}}{{21}}\);

c) \(\frac{{ - 9}}{1} = - 9\)

Bài tập 4

Tính thương và viết kết quả ở dạng phân số tối giản:

a) \(\frac{3}{{10}}:\left ({\frac{{ - 2}}{3}} \right)\);

b) \(\left( { - \frac{7}{{12}}} \right):\left( { - \frac{5}{6}} \right)\)

c) \(\left( { - 15} \right):\frac{{ - 9}}{{10}}\).

Gợi ý

\(\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}.\frac{d}{c} = \frac{{a.d}}{{b.c}};\,\,\,\,b,c,d \ne 0\)

Đáp án

a) \(\frac{3}{{10}}:\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right) = \frac{3}{{10}}.\frac{{ - 3}}{2} = \frac{{ - 9}}{{20}}\)

\(\begin{array}{l}\left( { - \frac{7}{{12}}} \right):\left( { - \frac{5}{6}} \right) =- \frac{7}{{12}}.\frac{{ - 6}}{5}\\ = \frac{{42}}{{60}} = \frac{7}{{10}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left( { - 15} \right):\frac{{ - 9}}{{10}} = \left( { - 15} \right).\frac{{ - 10}}{9}\\ = \frac{{150}}{9} = \frac{{50}}{3}\end{array}\)

Bài tập 5

Tìm số thích hợp cho [?]:

a) \(\frac{3}{{16}}:\frac{{\left[ ? \right]}}{8} = \frac{3}{4}\);

b) \(\frac{1}{{25}}:\frac{{ - 3}}{{\left[ ? \right]}} = \frac{{ - 1}}{{15}}\);

c) \(\frac{{\left[ ? \right]}}{{12}}:\frac{{ - 4}}{9} = \frac{{ - 3}}{{16}}\).

Gợi ý

- Muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân với số chia

- Muốn tìm số chia ta lấy số bị chia chia cho thương.

Đáp án

\(\begin{array}{l}\frac{3}{{16}}:\frac{{\left[ ? \right]}}{8} = \frac{3}{4}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{8} = \frac{3}{{16}}:\frac{3}{4}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{8} = \frac{3}{{16}}.\frac{4}{3}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{8} = \frac{{12}}{{48}}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{8} = \frac{2}{8}\\ \Rightarrow \left[ ? \right] = 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{25}}:\frac{{ - 3}}{{\left[ ? \right]}} = \frac{{ - 1}}{{15}}\\\frac{{ - 3}}{{\left[ ? \right]}} = \frac{1}{{25}}:\frac{{ - 1}}{{15}}\\\frac{{ - 3}}{{\left[ ? \right]}} = \frac{1}{{25}}.\frac{{ - 15}}{1}\\\frac{{ - 3}}{{\left[ ? \right]}} = \frac{{ - 15}}{{25}}\\\frac{{ - 3}}{{\left[ ? \right]}} = \frac{{ - 3}}{5}\\ \Rightarrow \left[ ? \right] = 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\left[ ? \right]}}{{12}}:\frac{{ - 4}}{9} = \frac{{ - 3}}{{16}}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{{12}} = \frac{{ - 3}}{{16}}.\frac{{ - 4}}{9}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{{12}} = \frac{{12}}{{144}}\\\frac{{\left[ ? \right]}}{{12}} = \frac{1}{{12}}\\ \Rightarrow \left[ ? \right] = 1\end{array}\)

Bài tập 6

Tìm x, biết:

a) \(\frac{4}{7}.x - \frac{2}{3} = \frac{1}{5}\);

b) \(\frac{4}{5} + \frac{5}{7}:x = \frac{1}{6}\).

Gợi ý

- Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ

- Muốn tìm số hạng ta lấy tổng trừ đi số hạng còn lại.

Đáp án

\(\begin{array}{l}\frac{4}{7}.x - \frac{2}{3} = \frac{1}{5}\\\frac{4}{7}.x = \frac{1}{5} + \frac{2}{3}\\\frac{4}{7}.x = \frac{3}{{15}} + \frac{{10}}{{15}}\\\frac{4}{7}.x = \frac{{13}}{{15}}\\x = \frac{{13}}{{15}}:\frac{4}{7}\\x = \frac{{13}}{{15}}.\frac{7}{4}\\x = \frac{{91}}{{60}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{{91}}{{60}}\).

\(\begin{array}{l}\frac{4}{5} + \frac{5}{7}:x = \frac{1}{6}\\\frac{5}{7}:x = \frac{1}{6} - \frac{4}{5}\\\frac{5}{7}:x = \frac{5}{{30}} - \frac{{24}}{{30}}\\\frac{5}{7}:x = \frac{{ - 19}}{{30}}\\x = \frac{5}{7}:\frac{{ - 19}}{{30}}\\x = \frac{5}{7}.\frac{{ - 30}}{{19}}\\x = \frac{{ - 150}}{{133}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{{ - 150}}{{133}}\).

Bài tập 7

Tính:

a) \(\frac{{17}}{8}:\left( {\frac{{27}}{8} + \frac{{-11}}{2}} \right)\);

b) \(\frac{{28}}{{15}}.\frac{1}{{{4^2}}}.3 + \left( {\frac{8}{{15}} - \frac{{69}}{{60}}.\frac{5}{{23}}} \right):\frac{{-51}}{{54}}\).

Gợi ý

Thực hiện phép tính theo thứ tự trong ngoặc => Nhân, chia => Cộng, trừ

Đáp án

\(\begin{array}{l}\dfrac{{17}}{8}:\left( {\dfrac{{27}}{8} + \dfrac{{-11}}{2}} \right)\\ = \dfrac{{17}}{8}:\left( {\dfrac{{27}}{8} + \dfrac{{-44}}{8}} \right)\\ = \dfrac{{17}}{8}:\dfrac{{-17}}{8}\\ = \dfrac{{17}}{8}.\dfrac{-8}{{17}}\\ =-1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{28}}{{15}}.\dfrac{1}{{{4^2}}}.3 + \left( {\dfrac{8}{{15}} - \dfrac{{69}}{{60}}.\dfrac{5}{{23}}} \right):\dfrac{{-51}}{{54}}\\ = \dfrac{{28.1.3}}{{{{15.4}^2}}} + \left( {\dfrac{8}{{15}} - \dfrac{{23.3}}{{4.3.5}}.\dfrac{5}{{23}}} \right).\dfrac{{-54}}{{51}}\\ = \dfrac{{7.4.1.3}}{{3.5.4.4}} + \left( {\dfrac{8}{{15}} - \dfrac{1}{4}} \right).\dfrac{{-54}}{{51}}\\ = \dfrac{7}{{20}} + \left( {\dfrac{{32}}{{60}} - \dfrac{{15}}{{60}}} \right).\dfrac{{-54}}{{51}}\\ = \dfrac{7}{{20}} + \dfrac{{17}}{{60}}.\dfrac{{-54}}{{51}}\\ = \dfrac{7}{{20}} + \dfrac{{17}}{{6.10}}.\dfrac{{-6.3.3}}{{17.3}}\\ = \dfrac{7}{{20}} + \dfrac{-3}{{10}}\\ = \dfrac{7}{{20}} + \dfrac{-6}{{20}}\\ = \dfrac{{1}}{{20}}\end{array}\)

Bài tập 8

Chim ruồi ong hiện là loài chim bé nhỏ nhất trên Trái Đất với chiều dài chỉ khoảng 5 cm. Chim ruồi “khổng lồ” ở Nam Mỹ là thành viên lớn nhất của gia đình chim ruồi trên thế giới, nó dài gấp \(\frac{{33}}{8}\) lần chim ruồi ong. Tính chiều dài của chim ruồi “khổng lồ” ở Nam Mỹ.

Gợi ý

Chiều dài của chim ruồi “khổng lồ” ở Nam Mỹ = \(\frac{{33}}{8}\). Chiều dài của chim ruồi ong.

Đáp án

Chim ruồi ong hiện có chiều dài khoảng 5 cm.

Chim ruồi "khổng lồ" ở Nam Mỹ dài gấp \(\frac{{33}}{8}\) lần chim ruồi ong.

Chiều dài của chim ruồi "khổng lồ" ở Nam Mỹ là:

\(\frac{{33}}{8}.5 = \frac{{33.5}}{8} = \frac{{165}}{8} = 20,625\)(cm)