Bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất

a)

b) Các số vừa ở hàng thứ nhất vừa ở hàng thứ 2 là: 0, 6, 12, 18.

c) Số nhỏ nhất khác 0 trong bội chung của 2 và 3 là: 6.

Bốn bội chung của 5 và 9 là: 45, 90, 135, 180.

Chú ý: Các em có thể chọn 4 số khác vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 9.

a) Ba bội chung: 24, 48, 72.

b) BCNN(8,12) = 24.

c) Chia ba bội chung cho BCNN

24 : 24 = 1

48 : 24 = 2

72 : 24 = 3

BCNN(a,b) = 300

=> Tất cả các số có 3 chữ số là bội chung của a và b là: 300, 600, 900

\(\begin{array}{l}12 = {2^2}.3\\18 = {2.3^2}\\27 = {3^3}\end{array}\)

Thừa số nguyên tố chung và riêng của 12, 18 và 27 là 2 và 3.

Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 3.

Vậy \(BCNN\left( {12,18,27} \right) = {2^2}{.3^3} = 108\).

Để tính tổng của hai phân số trên, ta có thể làm như sau:

- Chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu.

Cụ thể: Mẫu chung = BCNN(12,18)=36.

- Tìm thừa số phụ của mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu), ta có:

36:12=3;  36:18=2

- Sau khi nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng, ta cộng hai phân số có cùng mẫu.

\(\frac{5}{{12}} + \frac{7}{{18}} = \frac{{5.3}}{{12.3}} + \frac{{7.2}}{{18.2}} = \frac{{15 + 14}}{{36}} = \frac{{29}}{{36}}\)

Mẫu chung là BCNN(15,25,10)=150.

Thừa số phụ của 15 là 10; của 15 là 6; của 10 là 15.

\(\begin{array}{l}\frac{{11}}{{15}} - \frac{3}{{25}} + \frac{9}{{10}}\\ = \frac{{11.10}}{{15.10}} - \frac{{3.6}}{{25.6}} + \frac{{9.15}}{{10.15}}\\ = \frac{{110 - 18 + 135}}{{150}}\\ = \frac{{227}}{{150}}\end{array}\)

a) Các ước của 7 là 1, 7.

Các ước của 8 là 1, 2, 4, 8.

ƯCLN(7,8) = 1.

b) Hai số 7 và 8 có nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(7,8) = 1.

c) Ta có:

\(7 = 7\)

\(8 = {2^3}\)

\(BCNN(7,8) = {7.2^3} = 56\).

Mặt khác, 7.8= 56.

=> Bội chung nhỏ nhất của 7 và 8 bằng với tích của chúng.

a) Số 0 là bội chung của 6 và 10. Vì số 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0.

b) Bốn bội chung của 6 và 10 theo thứ tự tăng dần là: 0, 30, 60, 90. 

c) BCNN(6,10) = 30.

d) Bội của 30 và nhỏ hơn 160 là 0,30,60,90,120,150.

=> Các bội chung của 6 và 10 nhỏ hơn 160 là: 0, 30, 60, 90, 120, 150.

a) Vì 7 và 13 đều là hai số nguyên tố nên ƯCLN(7,13)=1

Hay 7 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau.

=> BCNN(7,13) = 7 . 13 = 91.

b) \(54 = {2.3^3}\)

    \(108 = {2^2}{.3^3}\)

Thừa số nguyên tố chung và riêng là 2 và 3

Số mũ lớn nhất của 2 là 2, của 3 là 3

\(BCNN(54,108) = {2^2}{.3^3} = 108\)

c) 21 = 3 . 7

    30 = 2 . 3 . 5

70 = 2 . 5. 7

Thừa số nguyên tố chung và riêng là 2,3,5,7.

Số mũ lớn nhất của các thừa số trên đều bằng 1.

BCNN(21, 30, 70) = 2 . 3 . 5 .7 = 210.

a) \(\begin{array}{l}48 = {2^4}{.3^1}\\40 = {2^3}{.5^1}\end{array}\)

Thừa số nguyên tố chung và riêng lần lượt là 2, 3 và 5.

Số mũ lớn nhất của 2 là 4; của 3 là 1; của 5 là 1.

=> \(BCNN\left( {48,40} \right) = {2^4}.3.5 = 240\).

Thừa số phụ của 48 là 240:48=5.

Thừa số phụ của 40 là 240:40=6.

\(\begin{array}{l}\frac{{19}}{{48}} - \frac{3}{{40}}\\ = \frac{{19.5}}{{48.5}} - \frac{{3.6}}{{40.6}}\\ = \frac{{95}}{{240}} - \frac{{18}}{{240}}\\ = \frac{{95 - 18}}{{240}}\\ = \frac{{77}}{{240}}\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}6 = {2^1}{.3^1}\\27 = {3^3}\\18 = {2^1}{.3^2}\end{array}\)

Thừa số chung và riêng là: 2;3

Số mũ lớn nhất của 2 là 1; của 3 là 3.

=> \(BCNN\left( {6,27,18} \right) = {2.3^3} = 54\).

Thừa số phụ của 6 là 54:6=9

Thừa số phụ của 27 là 54:27=2

Thừa số phụ của 18 là 54:18=3.

\(\begin{array}{l}\frac{1}{6} + \frac{7}{{27}} + \frac{5}{{18}}\\ = \frac{{1.9}}{{6.9}} + \frac{{7.2}}{{27.2}} + \frac{{5.3}}{{18.3}}\\ = \frac{9}{{54}} + \frac{{14}}{{54}} + \frac{{15}}{{54}}\\ = \frac{{9 + 14 + 15}}{{54}}\\ = \frac{{38}}{{54}} = \frac{{19}}{{27}}\end{array}\)

Các ước của 45 là 1;3;5;9;15;45.

Trong các số trên chỉ có 9 và 45 khi nhân với 5 thì chia hết cho 45.

=> Số còn lại là 9 hoặc 45.

Gọi x là tổng số học sinh của câu lạc bộ.

Vì khi chia số học sinh trong câu lạc bộ đó thành từng nhóm 5 học sinh hoặc 8 học sinh thì vừa hết nên x chia hết cho 5 và 8. Hay x là bội chung của 5 và 8.

Ta có: BC(5,8) = {0;40; 80; 120;…}

Mà số học sinh trong câu lạc bộ không quá 50 nên 0<x<50.

Ta được x = 40

Vậy: Câu lạc bộ thể thao đó có 40 học sinh.

Gọi: y là số ngày ít nhất mà ba tàu cập cảng cùng nhau.

Khi đó y phải chia hết cho 10, 12, 15.

Mà y là nhỏ nhất nên y là bội chung nhỏ nhất của 10, 12, 15.

Ta có:

10 = 2 . 5

12 = \(2^2.3\)

15 = 3 . 5

=> BCNN(10, 12, 15) = \(2^2 . 3 . 5 = 60\)

Vậy: Sau ít nhất 60 ngày thì ba tàu lại cùng nhau cập cảng.

Vì cứ 10 năm, can Giáp được lặp lại; cứ 12 năm, chi Tý được lặp lại, nên số năm Giáp Tý được lặp lại là bội chung của 10 và 12. Và số năm ít nhất năm Giáp Tý lặp lại là bội chung nhỏ nhất của 10 và 12. 

Phân tích 10 và 12 ra thừa số nguyên tố ta được:

10 = 2 . 5 

12 = \(2^2.3\)

Các thừa số nguyên tố chung của 10 và 12 là 2 với số mũ lớn nhất là 2. Các thừa số nguyên tố riêng của 10 và 12 là 3, 5 với số mũ lớn nhất là 1, 1.

Khi đó: BCNN(10, 12) =\(2^2.3.5=60\)

Vậy cứ sau 60 năm thì năm Giáp Tý được lặp lại.