Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc- cạnh - góc

Xét ∆ABC và ∆ABD có:

\(\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^o\)

AB chung

\(\widehat{ABC} = \widehat{ABD} = 45^o\)

Suy ra ∆ABC = ∆ABD (g - c - g).

Do đó AC = AD (2 cạnh tương ứng) và BC = BD (2 cạnh tương ứng).

Những góc của tam giác ABC có cạnh thuộc đường thẳng AB là: \(\widehat{CAB}\) và \(\widehat{CBA}\).

BC = B’C’ = 4 (đường chéo của 4 ô vuông).

Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có: BC = B’C’, AB = A’B’, \(\widehat B = \widehat {B'}\).

Vậy \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\)(c.g.c)

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Vậy trong tam giác A’B’C’ có \(\widehat {C'} = 180^\circ  - 70^\circ  - 60^\circ  = 50^\circ\).

Xét hai tam giác ABC và A’B’C’ có:

     \(\widehat B = \widehat {B'} = 60^\circ ;\)

     BC = B’C’ ( = 3 cm)

     \(\widehat C = \widehat {C'} = 50^\circ\)

Vậy \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\)(g.c.g) 

Xét hai tam giác ABC và ABD có: \(\widehat {CAB} = \widehat {DAB} = 60^\circ ,\widehat {ABC} = \widehat {ABD} = 45^\circ\), AB chung.

Vậy \(\Delta ABC = \Delta ABD\) (g.c.g). 

Suy ra AC = AD và BC = BD ( 2 cạnh tương ứng)

Vì \(\widehat A = \widehat {A'},\widehat C = \widehat {C'}\)mà tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên \(\widehat B = \widehat {B'}\).

Xét hai tam giác ABC và A’B’C’ có: \(\widehat A = \widehat {A'}\), AB = A’B’, \(\widehat B = \widehat {B'}\).

Vậy \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\)(g.c.g)

Ta có:  \(\widehat A = \widehat B\)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AM // BN

\(\Rightarrow \widehat M = \widehat N\)(2 góc so le trong).

Xét hai tam giác AOM và BON có: \(\widehat A = \widehat B\), AM = BN, \(\widehat M = \widehat N\).

Vậy \(\Delta AOM = \Delta BON\) (g.c.g)

Do đó OA = OB, OM = ON. (2 cạnh tương ứng).

Ta có: tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° và \(\widehat N = \widehat P = 90^\circ ,\widehat {PMQ} = \widehat {NQM}\)nên \(\widehat {PQM} = \widehat {NPQ}\).

Xét hai tam giác MNQ và QPM có:

     \(\widehat {PMQ} = \widehat {NQM}\)

     MQ chung

     \(\widehat {PQM} = \widehat {NPQ}\)

Vậy \(\Delta MNQ = \Delta QPM\)(g.c.g). Do đó MN = QP, MP = QN ( 2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(\widehat {DAB} = \widehat {CBA} \to \widehat {HAD} = \widehat {KBC}\)(Hai góc này là hai góc bù của góc DAB và CBA).

Mà tổng ba góc trong tam giác bằng 180° và \(\widehat {AHD} = \widehat {BKC} = 90^\circ ,\widehat {HAD} = \widehat {KBC}\) nên \(\widehat {ADH} = \widehat {BCK}\).

Xét hai tam giác AHD và tam giác BKC có:

     \(\widehat {AHD} = \widehat {BKC}\);

     HD = KC;

     \(\widehat {ADH} = \widehat {BCK}\).

Vậy \(\Delta AHD = \Delta BKC\)(g.c.g) nên AD = BC ( 2 cạnh tương ứng)

a) Ta có: \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)(vì AD là phân giác của góc BAC).

Mà \(\widehat B > \widehat C\) nên \(\widehat B + \widehat {BAD} > \widehat C + \widehat {CAD}\).

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:

\(\begin{array}{l}\widehat B + \widehat {BAD} \gt\widehat C + \widehat {CAD}\\ \to 180^\circ- (\widehat B + \widehat {BAD})\lt180^\circ- (\widehat C + \widehat {CAD})\\ \to \widehat {ADB}\lt\widehat {ADC}\end{array}\)

b) Xét hai tam giác ADB và tam giác ADE có:

     \(\widehat {ADB} = \widehat {ADE}\);

     AD chung;

     \(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\).

Vậy \(\Delta ABD = \Delta AED\) (g.c.g)

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.

Trong tam giác ABC có \(\widehat B > \widehat C\) nên AC > AB hay AB < AC (AB là cạnh đối diện với góc C, AC là cạnh đối diện với góc B).

Ta có: \(\Delta ABC = \Delta MNP\) nên theo tính chất 2 tam giác bằng nhau, ta có:

     \(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat M,\widehat B = \widehat N,\widehat C = \widehat P\\AB = MN,BC = NP,AC = NP.\end{array}\)

Mà AD và MQ lần lượt là phân giác của góc BAC và NMP nên \(\widehat {BAD} = \widehat {NMQ} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {NMP}\).

Xét hai tam giác ABD và MNQ có:

     \(\widehat {BAD} = \widehat {NMQ}\);

     AB = MN;

     \(\widehat B = \widehat N\).

Vậy \(\Delta ABD = \Delta MNQ\) nên AD = MQ ( 2 cạnh tương ứng)